2D-2D：对极几何

A.对极约束

@输入：参考帧和当前帧的2D点坐标对（一般8对），内参
@输出：运动恢复R t

参考帧和当前帧的二维像素点通过特征点法拿到了匹配关系，那么从各自光心出发的两条射线交点即3D点，P和两个光心构成了极平面， $e1$ \ $e2$为极点， $l1$ \ $l2$是极线（Epipolar line）。
对极几何必须要有正确的匹配关系，否则当前帧无法找到参考帧 $p1$对应的点在 $p2$，那样的话就要用极线搜索了。
对极几何求R t的步骤是：
1.根据匹配的像素点对和内参求出基础矩阵F或者本质矩阵E。E=t^ R，只和运动有关，所以是我们求的本质，平移和旋转各3自由度，单目尺度歧义性自由度-1，所以E有5个自由度，一般用八点法，8对点求；F还包括内参 $F=K^{-T}*E*K^{-1}$.
2.根据E或者R恢复R t。这里一般用SVD分解恢复出4个解，然后取点在相机前方的那个解。

B.单应矩阵

@输入：参考帧和当前帧的2D点坐标对（一般4对），内参
@输出：运动恢复R t
Homography描述两个平面之间的映射关系，自由度为8。可以通过4对不共线的点得出。一般配合RANSAC。
退化（degenerate）:特征点共面or纯旋转，基础矩阵的自由度下降(比如平移那块没了)，就出现了退化。
ORB中H 和F都算，取好的。

没有特征匹配下的2D-2D：极线搜索

深度滤波器：用多次三角测量让深度估计收敛
直接法时候没有特征点匹配，所以需要用极限搜索，如DSO中ImmaturePoint::traceOn()。DSO论文中没有过多提及，深度滤波器部分可以看SVO比较详细。
@输入：*Frame_ref, *Frame_curr, R, t, 参考帧点像素位置和深度估计区间, 内参
@输出：当前帧对应点像素位置，点的深度和不确定度。

这时候的前提是已知Rt（可以是估计出来的，也可以是静止模型、匀速模型、随机模型之类的），思路是：
这时候只知道参考帧的点像素坐标和深度区间，也知道当前帧的极线， $p1$深度区间投过来后限定了极线的搜索范围，于是在范围内用块匹配之类的方法评估NCC(Normalized Cross Correlation)找到相似度最高的点，如果只把这个点当作最终结果是不行的，很容易陷入局部极值。所以需要用滤波的方法多次搜索直到收敛。所以过程是：
1.假设像素的深度满足高斯分布，通过极限搜索确定当前帧像素点对应位置
2.根据几何关系三角化计算深度和几何不确定性（DSO还加上了光度不确定性）
3.根据深度和不确定性融合进上一次的估计中，DSO中是GN迭代，直到深度收敛。

三角测量Triangulation

@输入：参考帧和当前帧的2D点坐标对，恢复出的R t
@输出：空间点的位置（即参考帧和当前帧点对应的深度s1 s2）
在用2D-2D的方法恢复出Rt后，还需要用运动估计点的空间位置。

理论上两个射线会交于点P，但无论是匹配误差还是运动估计误差等噪声都会导致无法相交，所以一般用最小二乘的思路解点的位置。最后求得两帧系下的位置深度s1和s2。三角测量必须要有一定的平移。(CSDN里面 \^{}打不出反协号)
$s_1*x_1 ^ \nu x_1=0=s_2 * x_1 ^\nu *R * s_2+x_1^\nu t$

3D-2D:PnP

@输入：参考帧下的特征点像素坐标和3D坐标，匹配到当前帧的2D点像素坐标，内参
@输出：运动估计R t
Perspective-n-Point，当知道了n个空间点和其投影位置的情况下求解位姿。3D-2D比2D-2D简单的多，最少只需要3对点，不过他需要特征点的3D位置，可以由三角化or RGB-D or lidar提供，因此在双目和RGB-D中就很方便，单目中要先初始化后才能用PnP。需要注意的是：3D点的位置应该是在参考帧坐标系下的，实际上等价于在世界坐标系下已知（因为参考帧对世界系的T已知），而当前帧的空间坐标是不知道的，只知道参考帧特征点对应的2D像素坐标，否则就成了3D-3D ICP了。
PnP有很多方法，一般先用P3P/EPnP估计一个初值，然后用非线性优化的方法即BA refine：

当前已知p1 p2坐标和P在左图下的3D点，这时候BA优化重投影误差，不断更新R t，让P在右图的投影p2^尽量接近p2，即可用G-N L-M等优化方法求出R t。（这里可以看看其中的雅可比推导），BA的目标函数：
$\xi^* = \mathop{\arg\min}_{\xi} \ \ \frac{1}{2} \sum \| u_i - \frac{1}{s_i}Kexp(\xi^\nu)P_i \|^2_2$
即重投影误差，u是当前帧像素坐标即p2,Pi是参考帧下的3D点齐次坐标，这里的1/s实际上就是在K投影前将当前系下估计出的3D坐标归一化，所以变量只有李代数。

3D-3D ICP

@输入：配对好的一组3D点对，即那坨点云分别在参考帧下和当前帧下的坐标
@输出：运动恢复R t
这时候不用输入相机内参，3D-3D和相机模型无关，所以lidar也可以直接用，视觉和lidar的ICP区别是：视觉可以通过特征点去匹配2D点然后找到对应的3D点对，但是lidar有时比较难匹配特征点对，就认为距离最近的两个点是同一个点，即最近邻，当然这个点也是有一定的几何特征的特征点；当然lidar也可以用强度匹配之类的。
BA的目标函数：p p’为两对输入，变量为李代数
$\xi^* = \mathop{\arg\min}_{\xi} \ \ \frac{1}{2} \sum \| p_i - exp(\xi^\nu)p_i ' \|^2_2$