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前面我们介绍过了图像的梯度,以及图像的几个梯度算子。
这些本质上都是一阶导数,或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数,能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。
在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的:
那么,二阶微分的基本定义就是这样的:
而图像是一个二维函数f(x,y),其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见,我们先按x方向的一维函数来推导:
图像是按照像素来离散的,最小的
那么二阶微分就是:
根据上面的一阶微分,则:
令x=x-1
则:
于是,在x和y方向上,有:
我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起:
这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子(Laplacian)。我们看一下实际效果。
import cv2
import numpy as np
moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
row, column = moon.shape
moon_f = np.copy(moon)
moon_f = moon_f.astype("float")
two = np.zeros((row, column))
for x in range(1, row - 1):
for y in range(1, column - 1):
two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
+ moon_f[x - 1, y] \
+ moon_f[x, y + 1] \
+ moon_f[x, y - 1] \
- 4 * moon_f[x, y]
sharp = moon_f - two
sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
sharp = sharp.astype("uint8")
cv2.imshow("moon", moon)
cv2.imshow("sharp", sharp)
cv2.waitKey()
输出结果:
我们可以看到,图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。
需要注意,将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候,必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号,而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号,与中心点f(x,y)的系数有关,这个定义的拉普拉斯二阶导数中,f(x,y)的系数是-4,是负的,原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像;拉普拉斯二阶导数还有其它的形式,例如:
这时f(x,y)的系数是正的,原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。
到这里,我们已经注意到,前面介绍图像一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数就没有使用绝对值,且需要考虑系数的正负符号问题,才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像,为什么是这样?这个下一篇再探讨。