本篇主要介绍在三种插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值，以及这三种方法在matlab中如何实现。

1.拉格朗日插值：

1.1基本原理：先构造一组基函数：

$l_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})}$

$=\prod_{j=0j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$ $\left ( i=0,1,...,n \right )$

$l_{i}(x)$ 是 $n$ 次多项式，满足

$l_{i}(x_{j})=\left\{\begin{matrix} 0 & j\neq i & \\ 1& j=i & \end{matrix}\right.$

令

$L_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\left \{ \prod_{j=0j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \right \}$

上式称为 $n$ 次Lagrange插值多项式。

1.2用Matlab作Lagrange插值：

matlab没有现成的lagrange函数，需要手动写，如下：

x0，y0为原始坐标点，维度必须相同。

x为待插值的点。

y是返回值，是最终插值结果。

function y=lagrange(x0,y0,x)   %x0,y0为初始坐标，x为需要插值的点，返回的y为插值结果
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0;
    for j=1:n
        p=1;
        for k=1:n
            if k~=j
                p=p*((z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

2.分段线性插值：

2.1基本原理：

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。计算 $x$ 点的插值时，只用到 $x$ 左右的两个节点，计算量与节点个数n（初始值x0，y0的长度,n=length(x0)）无关，而拉格朗日插值与n值有关。分段线性插值中n越大，分段越多，插值误差越小。

2.2Matlab实现分段线性插值：

用matlab实现分段线性插值不需要自己手动编写函数，matlab有现成的一维插值函数interp1

y=interp1(x0,y0,x,'method')

method指定插值方法，其值可为：

linear：线性插值（默认）

nearest：最近项插值

spline：逐次3次样条插值

cubic：保凹凸性 3 次插值

所有插值方法都要求x0单调。

3.三次样条插值：

使用三次样条插值有两种方法：其中一种就是第二种插值方式（分段线性插值），只需要将method修改为spline即可实现。

还有一种实现方式如下：

pp=csape(x0,y0);

y=ppval(pp,x);

其中x0，y0，x与前面含义相同，返回值y即插值结果。

4.彩蛋（例题）：

表1给出的 x, y 数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到 x 坐标每改变0.1 时的 y 坐标。试完成加工所需数据，画出曲线。要求用 Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。

表1

x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6

解：编写代码如下：

clear,clc
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=[0:0.1:15];

%拉格朗日插值
y1=lagrange(x0,y0,x1);
figure
plot(x0,y0,x1,y1,'.')
title('拉格朗日插值')

%分段线性插值
y2=interp1(x0,y0,x1);
figure
plot(x0,y0,x1,y2,'.')
title('分段线性插值')

%三次样条插值
y3=interp1(x0,y0,x1,'spline');
figure
plot(x0,y0,x1,y3,'.')
title('三次样条插值')

结果图为:

由图可知：拉格朗日插值误差较大，插值大量点的时候不建议使用。分段线性插值结果最好，使用的是method是linear（默认）。三次样条插值有点误差，但不是很大，得到的曲线比较光滑。

学习插值函数时的一点小心得，希望能帮到大家！

拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值