矩阵中的概念还是很多的,时间一长很容易忘记,这里做一个摘录,已备不时之需。
线性空间
1. 生成子空间
容易验证
2. 矩阵的值域
设
即
同理可定义
3 核空间
设
4 正交
定理一:对于欧式空间
该定理可用Schmidt正交化方法构造性证明。
正交矩阵:实方阵
显然
正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,但是在别的基下的矩阵可能是正交矩阵,也可能不是
5对称性与对称矩阵
对称变换:设
成立,则
定理2:欧式空间的线性变换是实对称变换的充要条件是,它对于标准正交基矩阵是实对称矩阵。
定理3:实对称矩阵的特征值都是实数
下面给出简要证明:
设
两边取共轭有
由共轭复数的性质有:
取转置,由
等式两边右乘
而
定理4:实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的
简要证明如下:
设
由于
故
即
但是
6 酉空间
酉空间实际上是实数域
酉变换:酉空间
则称
酉矩阵:酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵
Hermite变换:酉空间
则称
Hermite矩阵: Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵
酉矩阵对应于实数域空间中的正交矩阵,Hermite矩阵对应于实数域空间中的对称矩阵
定理5:
- :设
A∈Cn×n 的特征值为λ1,λ2,⋯,λn ,则存在酉矩阵P ,使得
P−1AP=PHAP=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢λ1∗…λ2⋱⋱∗⋮∗λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
2 设
证明过程略微繁琐,这里就不给出了,一般用数学归纳法证明。
正规矩阵:设
成立,则称A为正规矩阵。那么上面的定理可以进一步的加强
定理6:
- 设
A∈Cn×n ,则A 酉相似与对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵; - 设
A∈Rn×n ,且A的特征值都是实数,则A 正交相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵
上面两条定理给出了一个矩阵可以转化为对角矩阵的充要条件
范数篇
- 向量范数
向量范数的等价性:设
证明略
特殊情况有
- 矩阵范数
定义:设A∈Cm×n ,定义一个实值函数∥A∥ ,他满足以下三个条件:
1.非负性:当A≠O 时,∥A∥>0 ;当A=O 时,∥A∥=0
2.齐次性:∥αA∥=|α|∥A∥,(α∈C)
3.三角不等式:∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥,(B∈C)
则称∥A∥ 为A 的广义矩阵范数。
若对Cm×n,Cn×l,Cl×m 上的同类广义矩阵,还应满足以下一个条件:
4.相容性:∥AB∥≤∥A∥∥B∥
定理:已知
下面是三种常用的范数
设
-
∥A∥1=maxj∑i=1m|aij| -
∥A∥2=λ1−−√,λ1为AHA的最大特征值; -
∥A∥∞=maxi∑j=1n|aij|
证明:
(1)设∥x∥=1 ,则
∥Ax∥=∑i=1m∣∣∣∣∑j=1naijξj∣∣∣∣≤∑i=1m∑j=1n|aij|ξj|=∑j=1n|ξj|(∑i=1m|aij|)
≤(maxj∑i=1m|aij|)∑j=1n|ξj|=maxj∑i=1m|aij|
因此有
∥A∥1=max∥x∥1=1∥Ax∥1≤maxj∑i=1m|aij|
选取k 使得
∑i=1m|aik|=maxj∑i=1m|aij|
令x0 为第k 个单位坐标向量,则有
Ax0=(A1k,a2k,⋯,amk)T
∥A∥1=max∥x∥1=1∥Ax∥1≥∥Ax0∥=∑i=1m|aik|=maxj∑i=1m|aij|
得证
(2) 因为AHA 是Hermite矩阵,且由
xH(AHA)x=(Ax)H(Ax)=∥Ax∥22≥0
因此AHA 是半正定的,从而它的特征值为非负,设为
设λ 为AHA 的一个特征值,特征向量为x ,且∥x∥2=1 则
∥Ax∥22=(x,AHAx)=(x,λx)=λ∥x∥22≤λ1
所以有∥A∥2=max∥x∥2=1∥Ax∥2≤λ1−−√
显然当x 为λ1 的特征向量是取等号。
(3)证明类似于上面,过程略.
谱半径:设
定理:设
证明过程很简单,设 Ax=\lambda x
当矩阵 A
因为: \|A\|_2=\sqrt{\max_i|\lambda_i(A^HA)|}=\sqrt{\rho(A^HA)}=\rho^\frac 1 2(A^HA)
因为
固有
定理:设
证明略。
- 矩阵的非奇异性条件
定理:设A∈Cn×n ,且对Cn×n 上的某种矩阵范数∥⋅∥ ,有∥A∥≤1 ,则矩阵I−A 非奇异,且有∥(I−A)−1∥≤∥I∥1−∥A∥
证明:
若det(I−A)=0 ,则其次线性方程组(I−A)x=0 有非零解x0 ,则有
(I−A)x0=0
则∥x0∥V=∥Ax0∥v≤∥A∥∥x0∥V<∥x0∥V
出现矛盾,故det(I−A)≠0 ,矩阵I−A 非奇异.
再由(I−A)−1(I−A)=I ,可得
(I−A)−1=I+A(I−A)−1
于是∥(I−A)−1∥≤∥I∥+∥A∥∥(I−A)−1∥
即∥(I−A)−1∥≤∥I∥1−∥A∥
当A 很小时,(I−A)−1 与单位矩阵的逼近成都由下面定理给出
定理:设A∈Cn×n ,且对Cn×n 上的某种矩阵范数∥⋅∥ ,有∥A∥≤1 ,则
∥I−(I−A)−1∥≤∥A∥1−∥A∥
证明:因为∥A∥≤1 ,s所以(I−A)−1 存在,由
(I−A)−I=−A 右乘(I−A)−1 得
I−(I−A)−1=−A(I−A)−1
两边取范数有
∥I−(I−A)−1∥=∥−A(I−A)−1∥≤∥A∥1−∥A∥
推论:设A∈Cn×n 非奇异,B∈Cn×n ,且对Cn×n 上的某种矩阵范数∥⋅∥ ,有∥A−1B∥<1 ,则A+B 非奇异
证明很简单,由于∥A−1B∥<1 ,所以∥−A−1B∥<1 ,再用上面的定理的证。
矩阵分析
- 矩阵收敛
定义:设A 为方阵,且当k→∞ 时,有Ak→O ,则称A 为收敛矩阵
定理:Ak→O(k→∞) 的充要条件是ρ(A)<1
证明:充分性由前面的定理有∥A∥M≤ρ(A)+δ
对于δ=12[1−ρ(A)] 则
∥A∥≤12[1+ρ(A)]<1
于是∥Ak∥M≤∥A∥kM→0 ,故Ak→O
必要性:已知Ak→O ,设λ 是A的任一特征值,对应的特征向量为x ,则有Ax=λx(x≠0) ,因为
λkx=Akx→0 λk→0 ,从而|λ|<1 故ρ(A)<1
推论:
证明很简单,
- 矩阵级数
定义: