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凸集的定义:
对集合
S 任意两点
x1,
x2,以及两个实数
θ1,
θ2,并且
θ1+θ2=1,
θ1≥0,
θ2≥0,都有
θ1x1+θ2x2∈S
则
S 是凸集。
问题:
集合
S 是凸集,这鞥名其中任意
k 个点
x1…xk,以及
k 个实数
θ1…θk,并且
θ1+⋯+θk=1,
θ1≥0,…,θk≥0,都有
θ1x1+θ2x2+⋯+θkxk∈S
证明:
数学归纳法。对于
k=2 时,显然成立。
假设对于
k=n 时成立,下面我们证明
k=n+1 时也成立。
=θ1x1+θ2x2+⋯+θk+1xk+1θ1x1+(1−θ1)(1−θ1θ2x2+⋯+1−θ1xk+1xk+1)
因为
1−θ1θ2+⋯+1−θ1θk+1=1−θ11−θ1=1,根据
k=n 时成立,上式第二项在凸集
S 中,第一项与第二项的和相当于
k=2 的情况,故也在凸集
S 中。
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