ax+by=d,d是最小正数的证明:
首先要证明存在解:
因为 d|a,d|b,所以对任意的x,y∈Z,d|ax+by。
假设m是最小正数C = {ax+by|x,y∈Z}
∵ a%m =a- [a/m]*m=a-q*(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy) ∈C
因为 0<=a%m<m,所以a%m=0,m|a,
同理 m|b,∴m|(a,b)=d
综合m|d,d|m ,所以m=d
ax+by=d,d是最小正数的证明:
首先要证明存在解:
因为 d|a,d|b,所以对任意的x,y∈Z,d|ax+by。
假设m是最小正数C = {ax+by|x,y∈Z}
∵ a%m =a- [a/m]*m=a-q*(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy) ∈C
因为 0<=a%m<m,所以a%m=0,m|a,
同理 m|b,∴m|(a,b)=d
综合m|d,d|m ,所以m=d