OFDM即正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing），是多载波调制的一种，通俗来说就是通过多条互相没有关系的通道传输不同的信息。OFDM现在主要用于4G通信上，并且由于其频带利用率高，抗多径能力强，能有效抑制ISI（符号间干扰）和ICI（信道间干扰），在水声通信方面也有较多的应用，这是后话。今天主要整理下OFDM原理上的一些东西，也理一理比较杂乱的大脑。
刚提到说OFDM的频带利用率高，抗多径能力强，那么对于OFDM的原理应该分以下几个部分进行说明：
1、子载波的正交性
2、OFDM与傅里叶变换的关系
3、抗多径、抑制ISI和ICI的原因及循环前缀
一、子载波的正交性
什么是正交？从向量上来看就是两个互相垂直的向量，无论其模长是多少，相乘总是等于0：
而在函数上的正交性是怎样的呢？用文字来说，就是无论两个函数的幅值为多少，在确定的一个时间周期内相乘，其积分总是等于0（也就是面积相加为0）。比如最简单的一对正交函数sin(t)和sin(2t)（matlab实在不熟练，画个图还要百度半天，干脆也截图下来好了）：
其中红色是sin(t)，蓝色是sin(2t)。他们均在2π时间内具有完整的周期，各自在2π时间内的积分问为0（正负面积相加为0）。而sint(t)*sin(2t)的图像为：
可以大概地看出，图像中正负面积相加同样为0，也就是：
再总结一遍，函数的正交性就是无论两个函数的幅值为多少，在确定的一个时间周期内相乘，其积分总是等于0。那么如果使得sin(t)的幅度为a，sin(2t)的幅度为b，也就是将a调制于sin(t)，将b调制于sin(2t)，同时传输这两个调制了信号的正弦波（子载波）：a*sin(t)+b*sin(2t)，在接收时又分别对两路子载波进行积分，也就是：
看，这样就将原始信息a和b解调出来了，两路子载波互不干扰，而OFDM就是通过多路互不干扰的子载波传递了不同的信息。而由于子载波的正交性，其频率间隔很小，使得频带利用率很高，在水声信道这样可用频带窄的环境中较为适用。
设f0~fN-1是以Δf（能使每个子载波互相正交的频率间隔）为频率间隔的N个频率，Nc为用到的子载波个数，那么就有：
由于正弦函数与余弦函数的正交关系，上式还可以扩展为：
画个常见于各种OFDM原理说明文章内的框图来说，就是这样：
其中，F(n)是串行比特流经过编码后（按照不同的映射方式），产生的复数形式的数据流，a和b均为-1（也就是二进制的0）或1。F(n)中的实数a(n)调制于余弦子载波上，复数b(n)调制于正弦子载波上（三角函数的复数形式：ej2πft=cos(2πft)+jsin(2πft)）。在N个频率中，只有Nc个子载波是用于传递信息（这里说得有点绕，暂且理解处理过程即可）。之后将所有路的信号进行叠加，就成为了传递出去的波形了。在接收端，对各路信号进行积分，便解调出了a(n)和b(n)。
二、OFDM与傅里叶变换的关系
OFDM系统在处理的过程中要用到傅里叶变换，也是让很多人知其然不知其所以然的一个问题。将刚才的f(t)改写为复数形式，也就是：
查一下傅里叶变换的公式，是不是特别像？傅里叶变换（FFT）就是将时域的波形转换为频域来看，频域上显示出来的各频率的幅度就是所调制的信号，逆傅里叶变换（IFFT）就是将调制了信号的各频率值合成为时域上的波形的过程，自然从公式上看是一样的了。所以，调制的过程就是逆傅里叶变换的过程，解调的过程就是傅里叶变换的过程。
上面复数表达式我认为可以这样理解，在一个子载波上（正余弦只不过是相位上的差别），而Fk即之前的F(n)=a(n)+jb(n)，也就是一个子载波上可以携带2比特数据（具体携带1个还是2个与编码映射有关，本文以QPSK为例，也就是携带2比特）。
那么之前为什么要绕半天又N又Nc又k的呢？这个就跟IFFT的处理过程有关了，干脆以一个实例来说最明白不过：
1、假设我们取IFFT的点数N=2048；
2、输出通带为6~12kHz；
3、（IFFT变换后的）采样频率设置为fs=48kHz（根据采样定理，fs要大于2倍的最高频率）。
那么从以上三条我们可以知道什么呢？
1、第0个点（n=0）是零频，也就是直流；
2、第1024个点（n=N/2）对应的频率是24k（fs/2），以此为界，第1~2047个点是对称的，对称的原因嘛，看傅里叶变换的原理去（其实我也说不清，证明过程貌似有点复杂）；
3、频率间隔Δf=fs/N=23.4375Hz，合着上一条一起看，也就是把48k平均分成了2048份，每一份之间的频率间隔为23.4375Hz（而实际上有意义的只有n<=1024）；
4、算得6k对应n=f1/Δf=256，12k对应n=f2/Δf=512，因此Nc必须小于256，并且n的取值范围要在[256,512]内，否则输出的频率将高于或低于输出通带，这里以Nc=128为例，中心频率为9k，则n的取值为[320,448)；
5、从时域上来看，可以知道采样周期Ts=1/fs=20.83μs，符号周期T=N*Ts=42.67ms，也就是频域上分了2048份，在时域上也采样了2048次；
6、这个符号周期指的就是一次IFFT变换需要的时间，也就是对于128个子载波，每个子载波分别在T时间内传输了一个复数符号（2bits），并且叠加在了一起，把256bits的数据发射了出去；
7、进一步地，假设声码器的码率为600bps（每45bits/75ms），要保证发射出去的速率与声码器一致，而我们现在的速率为每6kbps(256bits/42.67ms)，怎么办呢？那就需要在每次IFFT变换之间留有间隔，为Tcp=256bits/600bps-42.67ms=384ms，这么长的时间间隔就这么空着吗？当然不，这就涉及到循环前缀，将在第三节说明。
整理一下涉及到的公式：
1、采样频率：fs>2*fmax
2、频率间隔：Δf=fs/N
3、有用子载波个数Nc<(f2/Δf-f1/Δf)
4、有用子载波取值范围[f1/Δf,f2/Δf)
5、频率与n值的对应关系：n=f/Δf
6、符号周期：T=N*Ts=N/fs
7、码率=Nc*2/(T+Tcp)(是否乘2根据一个复数符号携带1bit还是2bits而定)
三、抗多径、抑制ISI和ICI的原因及循环前缀
说到OFDM的抗多径能力就不得不说到循环前缀。多径干扰会产生时延扩展、信号衰落，简单说就是对于一个脉冲信号，经过了多径信道传输后，产生了多个具有时延的，有一定衰落的脉冲信号，这些信号幅度服从瑞利分布：
对于ISI（符号间干扰），只要前一个符号的时延扩展时间（信道冲激响应长度）不会影响到下一个符号，便可以消除ISI，也就是说每个符号之间的保护间隔时间要大于时延扩展的时间。
对于ICI（信号间干扰），就要谈到循环前缀（CP）。由于我们的信道是多径信道，各路子载波被接收到的时间可能有偏差，这就造成在FFT积分时间长度内子载波之间相差不再是整数周期，子载波之间的正交性受到破坏，如果保护间隔中只是单纯地填零，那么在解调时子载波之间就会产生干扰。循环前缀是将符号尾部的信号搬移到前方构成的，这样，就可以保证各路子载波在一次FFT积分时间长度内，各子载波之间相差总是整数个周期，避免了信号间的干扰。
