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1. 引言
本文主要讲常系数线性微分方程的特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节,详细介绍了常系数线性微分方程的解法,对特征方程根的各种情况(实根或复根&根的重数)进行分类讲解,但由于分类过于仔细,使得读者对根的情况的记忆比较困难,本文致力于将特征根的各种情形统一处理,便于对微分方程解进行记忆.
2. 准备知识
本节所有的研究都是围绕着方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=f(x)(1)
进行的.其中
ai(t)(i=1,2,⋯,n)
及
f(t)
都是区间
[a,b]
上的连续函数.
如果{}
f(t)≡0
,则方程(1)变为
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=0(2)(5)
设
K=α+
i
β
是任意复数,这里
α,β
是实数,
t
为实变量,那么有
eKt=e(α+iβ)t=eαt(cosβt+isinβt)(3)(6)
此公式可通过泰勒展开进行验证.
定理1.1 如果方程(2)中所有系数
ai(t)(i=1,2,⋯,n)
都是实值函数,而
x=z(t)=φ(t)+iψ(t)
是方程的复值解,则
z(t)
的实部
φ(t)
,虚部
ψ(t)
和共轭复数
z¯¯¯(t)
也都是方程(2)的解.
定理1.2若方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t)+iv(t)
有复值解
x=U(t)+iV(t)
,这里
ai(t)(i=1,2,⋯,n)
及
U(t),V(t)
都是实函数,那么这个解的实部
U(t)
和虚部
V(t)
分别是方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t)
和
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=v(t)
的解.
注:上面两个定理保证了下述内容的正确性.
定理1.1和定理1.2均来自文献[1].
3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
3.1 常系数齐次线性微分方程的解
设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状
L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(4)(7)
其中
a1,a2,⋯,an
为常数.
按照前面的理论,为了求方程(4)的通解,只需求其基本解组.回顾一阶常系数齐次微分方程
dxdt+ax=0
已知,它有形如
x=e−at
的解,且其通解就是
x=ce−at
.这就启发我们对方程(3)也去试求指数函数形式的解
x=eλt(5)(8)
其中
λ
是待定常数,可以是实数,也可以是复数.
注意到
L[eλt]=dneλtdtn+a1dn−1eλtdtn−1+⋯+an−1deλtdt+aneλt=(λn+a1λn−1+⋯+an−1+an)eλt≡F(λ)eλt
其中
F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an
,是
λ
的
n
次多项式.式(5)为方程(4)的解的充要条件是
λ
是代数方程
F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an=0(6)(9)
的根.称(6)为方程(4)的特征方程,它的根就称为特征根.
设方程(4)的某一特征根为
λ(k
重,
k⩾1)
,则
k
重特征根
λ
对应于方程(4)的
k
个线性无关解为
eλt,teλt,t2eλt,⋯,tkeλt.
当
λ
为复数时,只需用欧拉公式(3)转化,可得到
2k
个解,而
λ
的共轭
λ¯¯¯
用此办法转化时,也得到相同的
2k
个解,这与
λ
和
λ¯¯¯
对应
2k
个解的事实相符.
3.2 Euler方程
形如
xndnydxn+a1xn−1dn−1ydxn−1+⋯+an−1xdydx+any=0(7)(10)
的方程称为欧拉方程,这里
a1,a2,⋯,an
为常数.以
y=xk
代入(7),并约去因子
xk
,就得到用来确定
k
的代数方程
k(k−1)⋯(k−n+1)+a1k(k−1)⋯(k−n+2)+⋯+an=0(8)(11)
因此,方程(8)的
m
重根
k0
对应于方程(7)的
m
个解为
xk0,xk0ln|x|,xk0ln2|x|,⋯,xk0lnm−1|x|.
当为复数时,只需使用欧拉公式转换即可.
4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)
下面讨论常系数非齐次线性微分方程
L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=f(t)(9)(12)
的解.这里
a1,a2,⋯,an
是常数,
f(t)
是连续函数.
4.1 形式 I
设
f(t)=(b0tm+b1tm−1+⋯+bm−1t+bm)eλt
,其中
λ
及
bi(i=1,2,⋯,n)
为实常数.则方程(9)有形如
x~=tk(B0tm+B1tm−1+⋯+Bm−1t+Bm)eλt(10)(13)
的特解.其中
k
为特征方程
F(λ)=0
的根
λ
的重数(
λ
不是特征根时认为是
0
重).而
B0,B1,⋯,Bm
是待定常数,只需将
x~
代入原方程,比较对应项的系数即可计算出
B0,B1,⋯,Bm
,也即求出了方程(9)的特解.
4.2 形式 II
设
f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt
.其中
α,β
为常数,而
A(t),B(t)
是关于
t
的实系数多项式,
A(t)
与
B(t)
的次数为
m
.则方程(9)有形如
x~=tk[P(t)cosβt+Q(t)sinβt]eαt(11)(14)
的特解.这里
k
是为特征方程
F(λ)=0
的根
α+iβ
的重数,而
P(t),Q(t)
均为待定的带实系数的次数不超过
m
的
t
的多形式,将(11)代回(9),通过比较对应项的系数即可求出
P(t),Q(t)
,也即求出了方程(9)的特解.
4.3 Euler方程的另一种解法
可用变换
x=et(即t=lnx)
将Euler方程(7)转化为前述的非齐次线性微分方程,即可求解.
参考文献
[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.