给定一棵n个节点的树和n-1条边的权值,求每两点间的权值的总和。\((n \leq 1e5)\)
暴力做法
求出每两个点的\(lca (O(nlogn)\)预处理,\(O(logn)\)查询),预处理路径前缀和后\(O(1)\)求得
\(n^2\)数量级的点对,时间复杂度\(O(n^2logn)\),TLE了。正解:统计每条边被经过的次数,乘以权值,求和
1.每条边连接了两个联通块\(a b\),一个有\(k\)个点,一个有\(n-k\)个点。
2.因为要求的是任意两点的距离和,故每条边在\(a\)中的每一个点与\(b\)中的每一个点的路径上出现,即出现了\(k*(n-k)\)次,再乘以权值即可。
3.做一遍预处理,对每个节点求出子树大小,即可在\(O(n)\)的时间内求出每两点的权值总和
主要代码:
int siz[maxn];
void dfs(int u, int fa)
{
siz[u] = 1;
ou[u] = ou[fa] ^ 1;
for (auto v:G[u])
{
if (v != fa)
{
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
ans += 1ll * siz[i] * (n - siz[i]) * w[i];