版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/itnerd/article/details/83385817
n x n 的矩阵可以写成分块形式:
M
=
[
A
B
C
D
]
n
×
n
M = \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]_{n \times n}
M = [ A C B D ] n × n 其中 A 和 D 为方阵。
若 A 是非奇异的,则 A 在 M 中的舒尔补为:
D
−
C
A
−
1
B
D - CA^{-1}B
D − C A − 1 B
若 D 是非奇异的,则 D 在 M 中的舒尔补为:
A
−
B
D
−
1
C
A - BD^{-1}C
A − B D − 1 C
要记住上面的形式很容易,只要记住字母顺序 DCAB、ABDC 都是在 M 中顺时针 排列的。
若 A 非奇异,则有
(1)
[
I
0
−
C
A
−
1
I
]
[
A
B
C
D
]
[
I
−
A
−
1
B
0
I
]
=
[
A
0
0
D
−
C
A
−
1
B
]
\left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right]\tag{1}
[ I − C A − 1 0 I ] [ A C B D ] [ I 0 − A − 1 B I ] = [ A 0 0 D − C A − 1 B ] ( 1 ) 上式可以看作对矩阵 M 实施分块矩阵的初等行列变换 。由 (1) 可得
∣
A
B
C
D
∣
=
∣
A
0
0
D
−
C
A
−
1
B
∣
=
∣
A
∣
∣
D
−
C
A
−
1
B
∣
\left|\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right| = |A||D-CA^{-1}B|
∣ ∣ ∣ ∣ A C B D ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ A 0 0 D − C A − 1 B ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ A ∣ ∣ D − C A − 1 B ∣ 此时
M
非
奇
异
⟺
D
−
C
A
−
1
B
非
奇
异
M 非奇异 \Longleftrightarrow D-CA^{-1}B 非奇异
M 非 奇 异 ⟺ D − C A − 1 B 非 奇 异 同理,当 D 非奇异时
M
非
奇
异
⟺
A
−
B
D
−
1
C
非
奇
异
。
M 非奇异 \Longleftrightarrow A-BD^{-1}C 非奇异。
M 非 奇 异 ⟺ A − B D − 1 C 非 奇 异 。
分块矩阵的逆
由式 (1) 还可以方便地求得分块矩阵的逆。
[
I
−
A
−
1
B
0
I
]
−
1
[
A
B
C
D
]
−
1
[
I
0
−
C
A
−
1
I
]
−
1
=
[
A
−
1
0
0
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
]
\left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right]^{-1} \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]^{-1} \left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right]^{-1} =\left[\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{matrix} \right]
[ I 0 − A − 1 B I ] − 1 [ A C B D ] − 1 [ I − C A − 1 0 I ] − 1 = [ A − 1 0 0 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] 因而
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
I
−
A
−
1
B
0
I
]
[
A
−
1
0
0
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
]
[
I
0
−
C
A
−
1
I
]
\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]^{-1} =\left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right]
[ A C B D ] − 1 = [ I 0 − A − 1 B I ] [ A − 1 0 0 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] [ I − C A − 1 0 I ]