圆周率的表达式的一种数学推导

题设：求圆周率的一种有理数表达式（近似值）

根据三角函数知识，有：

$$tan(\frac{\pi}{4}) = 1$$
那么有：
$$\pi = arctan(1) \times 4$$
至此，我们已经把圆周率表示为了一个连续可导的函数的值的形式。接下来尝试用有理数来表示出它的近似值。
对于连续可导函数，可以使用泰勒级数，将其展开为幂级数的形式，以求取近似值。
泰勒级数的表达式是这样的：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}$$
关于泰勒级数的收敛性此处不再赘述，它在高等数学的教材中将是重要的一章。泰勒级数的思想是用（连续可导）函数在相邻点处的函数值以及各阶导数值来逼近所要求取的位置的值。
令：
$$f(x)=arctan(x)$$
则有：
$$f^{(1)}(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
使用泰勒级数时，我们希望所建立的函数的各阶导函数呈现出比较简约的形式，而上方的函数的多次求导明显将是一件较为复杂的事情，因此进行换元。构造如下函数：
$$g(t)=\frac{1}{1+t}=(1+t)^{(-1)}$$
则有：
$$g^{(n)}(t)=(-1)^n \cdot n! \cdot (t+1)^{-n-1}$$
所构造的函数的高阶导函数有很简约的形式，而且由 0 处展开明显可以更好地简化其导数值。
即有：
$$g^{(n)}(0)=(-1)^n \cdot n! \cdot (0+1)^{-n-1}=(-1)^n \cdot n!$$
从而得到了函数g(t)的泰勒级数展开：
$$g(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot t^n$$
带回得：
$$f^{(1)}(x)=g(x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot x^{2n}$$
对该式求定积分得原函数：
$$f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot z^{2n}dz$$
定积分和求和可交换顺序：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \int_{0}^{x}z^{2n}dz$$
计算得：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$
最后，将 1 代入，得：
$$f(1)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$
即：
$$f(1)=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\cdots$$
综上：
$$\pi=4\times ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\cdots)$$
这便是人们所熟知的圆周率的无穷级数表达式。当然，这个表达式的产生要远远早于微积分的诞生，膜拜伟大的往圣先贤们…
笔者使用Matlab计算到了式中 n=1000000 时的情形，得到 3.141592653，即小数点后第9位，验证了结果。

小结：

本文简单运用了微积分和泰勒级数的知识，得出了圆周率的表达式的一种推导方法，这是笔者大学时学习高等数学（非数学专业）时产生的一些联想，因本人水平有限，难免存在错漏，欢迎广大朋友批评指正~
本文仅参考了同济大学的《高等数学》第七版下册，灵感来源于笔者脑洞，这种入门级的数学知识应该不会牵扯到侵权吧…缺少相关前置知识的朋友可参阅该书。