数据结构之图的最小生成树

其他 2018-11-11 02:09:10 阅读次数: 0
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我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树，找连通网的最小生成树，经典的有两种算法：普里姆算法（Prim）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal）。

普里姆算法

有如下邻接矩阵，9个顶点，左侧数字为行号，INFINITY为极大值65535，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。
在这里插入图片描述

void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)/* Prim算法生成最小生成树  */
{
	int min, i, j, k;
	int adjvex[MAXVEX];		/* 保存相关顶点下标 */
	int lowcost[MAXVEX];	/* 保存相关顶点间边的权值 */
	lowcost[0] = 0;/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树。lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
	adjvex[0] = 0;			/* 初始化第一个顶点下标为0 */
	for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)	/* 循环除下标为0外的全部顶点 */
	{
		lowcost[i] = G.arc[0][i];	/* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
		adjvex[i] = 0;					/* 初始化都为v0的下标 */
	}
	for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
	{
		min = INFINITY;	/* 初始化最小权值为∞，通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
		j = 1;k = 0;
		while(j < G.numVertexes)	/* 循环全部顶点 */
		{
			if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值小于min */
			{	
				min = lowcost[j];	/* 则让当前权值成为最小值 */
				k = j;			/* 将当前最小值的下标存入k */
			}
			j++;
		}
		printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
		lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
		for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)	/* 循环所有顶点 */
		{
			if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) 
			{/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
				lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
				adjvex[j] = k;				/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
			}
		}
	}
}
  1. 创建两个一维数组lowcost和adjvex，长度都为顶点个数9。
  2. 第6-7行我们分别给这两个数组的第一个下标位赋值为0，arjvex[0]=0 。意思是从顶点v0开始，lowcost[0]=0就表示v0已经被纳入到最小生成树中，之后凡是lowcost数组中的值被设置为0就是表示此下标的顶点被纳入最小生成树。
  3. 第8-12行表示我们读取邻接矩阵的第一行数据。将数值赋值给lowcost数组，所以此时lowcost数组值为{0，10，65535，65535，65535，11，65535，65535，65535}，而arjvex则全部为0。此时，我们已经完成了整个初始化的工作，准备开始生成。
  4. 第13-36行，整个循环过程就是构造最小生成树的过程。
  5. 第15-16行，将min设置为一个极大值65535，它的目的是为了之后找到一定范围内的最小权值。j是用来做顶点下标循环的变量，k是用来存储最小权值的顶点下标。
  6. 第17-25行，循环中不断修改min为当前lowcost数组中最小值，并用k保留此最小值的顶点下标。经过循环后，min=10，k=1。lowcost[j]!=0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找。
  7. 第26行，因k=1，adjvex[1]=0，所以打印结果为（0,1），表示v0至v1边为最小生成树的第一条边。
    在这里插入图片描述
  8. 第27行，此时因k=1，我们将lowcost[k]=0，就是说顶点v1纳入到最小生成树中，此时lowcost数组值为{0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。
  9. 第28-35行，j循环由1至8，因k=1，查找邻接矩阵的第v1行的各个权值，与lowcost的对应值比较，若更小则修改lowcost值，并将k值存入adjvex数组中。因第v1行有18,16,12均比65535小，所以最终lowcost为{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。第30行if判断的lowcost[j]!=0说明v0和v1已经是生成树的顶点，不参与最小权值的比对。
  10. 再次循环，第15行到第26行，此时min=11,k=5,adjvex[5]=0。因此打印结构为（0，5）。表示v0至v5边为最小生成树的第二条边：
    在这里插入图片描述
  11. 接下来执行到第36行，lowcost数组的值为{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12} ，adjvex数组的值为：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。
  12. 如此循环，最终得到生成树。
    在这里插入图片描述
#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
	int arc[MAXVEX][MAXVEX];
	int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
	int i, j;

	/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
	G->numEdges = 15;
	G->numVertexes = 9;

	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			if (i == j)
				G->arc[i][j] = 0;
			else
				G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
		}
	}

	G->arc[0][1] = 10;
	G->arc[0][5] = 11;
	G->arc[1][2] = 18;
	G->arc[1][8] = 12;
	G->arc[1][6] = 16;
	G->arc[2][8] = 8;
	G->arc[2][3] = 22;
	G->arc[3][8] = 21;
	G->arc[3][6] = 24;
	G->arc[3][7] = 16;
	G->arc[3][4] = 20;
	G->arc[4][7] = 7;
	G->arc[4][5] = 26;
	G->arc[5][6] = 17;
	G->arc[6][7] = 19;

	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
		}
	}

}

/* Prim算法生成最小生成树  */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
	int min, i, j, k;
	int adjvex[MAXVEX];		/* 保存相关顶点下标 */
	int lowcost[MAXVEX];	/* 保存相关顶点间边的权值 */
	lowcost[0] = 0;/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
				   /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
	adjvex[0] = 0;			/* 初始化第一个顶点下标为0 */
	for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)	/* 循环除下标为0外的全部顶点 */
	{
		lowcost[i] = G.arc[0][i];	/* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
		adjvex[i] = 0;					/* 初始化都为v0的下标 */
	}
	for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
	{
		min = INFINITY;	/* 初始化最小权值为∞， */
						/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
		j = 1; k = 0;
		while (j < G.numVertexes)	/* 循环全部顶点 */
		{
			if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值小于min */
			{
				min = lowcost[j];	/* 则让当前权值成为最小值 */
				k = j;			/* 将当前最小值的下标存入k */
			}
			j++;
		}
		printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
		lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
		for (j = 1; j < G.numVertexes; j++)	/* 循环所有顶点 */
		{
			if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
			{/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
				lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
				adjvex[j] = k;				/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
			}
		}
	}
}

int main(void)
{
	MGraph G;
	CreateMGraph(&G);
	MiniSpanTree_Prim(G);
	system("pause");
	return 0;

}

运行结果为：

<0，1>
<0，5>
<1，8>
<8，2>
<1，6>
<6，7>
<7，4>
<7，3>

克鲁斯卡尔算法

普里姆算法是以某顶点为起点1，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时边集数组结构的定义代码为：

/*对边集数组Edge结构的定义*/
typedef struct
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;

在这里插入图片描述
于是克鲁斯卡尔算法代码如下，左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的极大值，此处大约等于15即可，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef struct
{
	int arc[MAXVEX][MAXVEX];
	int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef struct
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;   /* 对边集数组Edge结构的定义 */

		 /* 构件图 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i, j;

	/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
	G->numEdges = 15;
	G->numVertexes = 9;

	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			if (i == j)
				G->arc[i][j] = 0;
			else
				G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
		}
	}
	G->arc[0][1] = 10;
	G->arc[0][5] = 11;
	G->arc[1][2] = 18;
	G->arc[1][8] = 12;
	G->arc[1][6] = 16;
	G->arc[2][8] = 8;
	G->arc[2][3] = 22;
	G->arc[3][8] = 21;
	G->arc[3][6] = 24;
	G->arc[3][7] = 16;
	G->arc[3][4] = 20;
	G->arc[4][7] = 7;
	G->arc[4][5] = 26;
	G->arc[5][6] = 17;
	G->arc[6][7] = 19;
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
		}
	}

}
/* 交换权值 以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges, int i, int j)
{
	int temp;
	temp = edges[i].begin;
	edges[i].begin = edges[j].begin;
	edges[j].begin = temp;
	temp = edges[i].end;
	edges[i].end = edges[j].end;
	edges[j].end = temp;
	temp = edges[i].weight;
	edges[i].weight = edges[j].weight;
	edges[j].weight = temp;
}
/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[], MGraph *G)
{
	int i, j;
	for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
	{
		for (j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
		{
			if (edges[i].weight > edges[j].weight)
			{
				Swapn(edges, i, j);
			}
		}
	}
	printf("权排序之后的为:\n");
	for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
	{
		printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
	}

}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int *parent, int f)
{
	while (parent[f] > 0)
	{
		f = parent[f];
	}
	return f;
}
/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
	int i, j, n, m;
	int k = 0;
	int parent[MAXVEX];/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
	Edge edges[MAXEDGE];/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */

						/* 用来构建边集数组并排序********************* */
	for (i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
	{
		for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
		{
			if (G.arc[i][j]<INFINITY)
			{
				edges[k].begin = i;
				edges[k].end = j;
				edges[k].weight = G.arc[i][j];
				k++;
			}
		}
	}
	sort(edges, &G);
	/* ******************************************* */
	for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
		parent[i] = 0;	/* 初始化数组值为0 */
	printf("打印最小生成树：\n");
	for (i = 0; i < G.numEdges; i++)	/* 循环每一条边 */
	{
		n = Find(parent, edges[i].begin);
		m = Find(parent, edges[i].end);
		if (n != m) /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
		{
			parent[n] = m;	/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
							/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
			printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
		}
	}
}
int main(void)
{
	MGraph G;
	CreateMGraph(&G);
	MiniSpanTree_Kruskal(G);
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果为：

权排序之后的为:
(4, 7) 7
(2, 8) 8
(0, 1) 10
(0, 5) 11
(1, 8) 12
(3, 7) 16
(1, 6) 16
(5, 6) 17
(1, 2) 18
(6, 7) 19
(3, 4) 20
(3, 8) 21
(2, 3) 22
(3, 6) 24
(4, 5) 26
打印最小生成树：
(4, 7) 7
(2, 8) 8
(0, 1) 10
(0, 5) 11
(1, 8) 12
(3, 7) 16
(1, 6) 16
(6, 7) 19

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