1. 斐波那契数列
费波那契数列（意大利语：Successione di Fibonacci），又译为费波拿契数、斐波那契数列、费氏数列。
在数学上，费波那契数列是以递归的方法来定义：
当n趋近于无穷大时，后一项与前一项的比值趋近于1.618，因此也叫黄金比例数列。
斐波那契写书时以兔子繁殖问题为例子，因此也叫兔子繁殖数列。
2.斐波那契Java实现
package atOffer_09;
import java.util.Scanner;
public class Fibonacci {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int num = sc.nextInt();
System.out.println(fibonacci(num));
sc.close();
}
private static int fibonacci(int num) {
int[] result = new int[] {0,1};
if(num < 2)
return result[num];
int fibonacciMinus2 = result[0];
int fibonacciMinus1 = result[1];
int fibonacciNum = 1;
for(int i = 2; i <= num; i++) {
fibonacciNum = fibonacciMinus1 + fibonacciMinus2;
fibonacciMinus2 = fibonacciMinus1;
fibonacciMinus1 = fibonacciNum;
}
return fibonacciNum;
}
}
确认前两项线性实现，效率比递归快
3.跳台阶问题
问题描述：一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。
设f(n)表示青蛙跳上n级台阶的跳法数。当只有一个台阶时，
即n = 1时， 只有1种跳法；
当n = 2时，有两种跳法；
当n = 3 时，有3种跳法；
当n很大时，青蛙在最后一步跳到第n级台阶时，有两种情况：
一种是青蛙在第n-1个台阶跳一个台阶，那么青蛙完成前面n-1个台阶，就有f(n-1)种跳法，这是一个子问题。
另一种是青蛙在第n-2个台阶跳两个台阶到第n个台阶，那么青蛙完成前面n-2个台阶，就有f(n-2)种情况，这又是另外一个子问题。所以这种问题实质上就是斐波那契数列问题，用公式表达为：
用代码实现和斐波那契相同：
package atOffer_09;
import java.util.Scanner;
public class JumpFloor {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int num = sc.nextInt();
System.out .println(JumpSteps(num));
sc.close();
}
private static int JumpSteps(int num) {
int[] jump = new int[] {0,1};
if(num < 2) {
return jump[num];
}
int jumpMinus1 = jump[1];
int jumpMinus2 = jump[0];
int jumpStep = 1;
for(int i = 2; i <= num; i++) {
jumpStep = jumpMinus1 + jumpMinus2;
jumpMinus2 = jumpMinus1;
jumpMinus1 = jumpStep;
}
return jumpStep;
}
}
4.问题变型
变态跳台阶指一只青蛙可以一次跳任意阶台阶，求问跳n阶台阶的方法，解决方法思想也可以规划为写公式让斐波那契求解的过程，跳n阶的时候即f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(2)+f(1)+1=2^(n-1)种方法
兔子繁殖问题是斐波那契经典问题解决方法同理。
矩形覆盖问题：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。
请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？同理
参考文献：