注意:这里只是推出LOG与DOG的关系
1)高斯函数:
(1)
2)DOG(Difference Of Gaussian)
DoG算子是LoG算子的近似,做法是求取不同sigma方差下的高斯滤波图像的差,这导致DoG图像有负数产生,因此实际操作时要把原图像素值设为有符号数。对高斯函数即式(1)求σ偏导。
不妨令:
(2)
则由式(2)求σ偏导得:
(3)
在不妨令
(4)
(5)
则对公式(4)求σ偏导为:
(6)
由(2)(6)可得出高斯函数对σ求偏导,即:
(7)
3)LOG(Laplacian Of Gaussian)
LOG算子可以用下式表示:
(8)
可以看出LOG就是高斯函数的二阶导。具体推导过程如下:
高斯函数可以转化为下式
(9)
不妨令
(10)
(11)
由公式(10)求得对x的偏导:
(12)
再次求导得:
(13)
同理可求得公式(10)对y的二次偏导:
(14)
所以公式(8)可表示为:
(15)
4)LOG与DOG的关系
由式(7)(15)可以看出:
(16)
由导数定义得:
(17)
则由(16)(17)得:
(18)
将公式(18)变形得:
(19)