以下均为简单笔记，如有错误，请多多指教。

1. 证明式 $K=\overline{P}_kC_k^T(C_k\overline{P}_kC_k^T+Q_k)^{-1}$。
   答：由于课本上已经推导了大部分的公式，则已知
   $\widehat{P}_k=(1-KC_k)\overline{P}_k$
   $K=\widehat{P}_kC_k^TQ_k^{-1}$
   故而得到 $K=(1-KC_k)\overline{P}_kC_k^TQ_k^{-1}=\overline{P}_kC_k^TQ_k^{-1}-KC_k\overline{P}_kC_k^TQ_k^{-1}$；
   稍微处理一下得到 $K(1+C_k\overline{P}_kC_k^TQ_k^{-1})=\overline{P}_kC_k^TQ_k^{-1}$
   方程两边同时乘以 $Q_k$，则 $K(Q_k+C_k\overline{P}_kC_k^T)=\overline{P}_kC_k^T$
   故而 $K=\overline{P}_kC_k^T(Q_k+C_k\overline{P}_kC_k^T)^{-1}$
   

2. 对比g2o和Ceres的优化后目标函数的数值。指出为什么两者在Meshlab中效果一样但数值却不同。
   答：个人感觉这个是自然而然的，即便是同一个程序在不同的运行时间其数值都可能不太一样。
   

3. 对Ceres当中的部分点云进行Schur消元，看看结果会有什么区别。
   答：Schur消元后，Ceres运行的时间会得到一定程度的提高。本文使用了http://grail.cs.washington.edu/projects/bal/final.html中961张影像的数据，完全不边缘化的运行时间为1812s，边缘化所有点的运行时间为1629s。但是总体感觉似乎时间变化不多，具体原因还不太清楚。
   部分点云进行消元要修改的代码也非常简单，即在ch10/ceres_custombundle中的SetOrdering稍微修改一下即可，例如只消元 $1/3$：

for(int i=0; i<bal_problem->num_points(); i++)
{
  if(i%3==0)
  {
    ordering->AddElementToGroup(bal_problem->mutable_point_for_observation(i),0);
  }
  else
  {
    ordering->AddElementToGroup(bal_problem->mutable_point_for_observation(i),1);  
  } 
}

4. 证明 $S$矩阵为半正定矩阵。
   答：假设
   $H=\begin{bmatrix} B & E \\ E^T & C \end{bmatrix}$
   则 $S=B-EC^{-1}E^T$。
   首先要说明一点的是前文已经说过 $H$是一个半正定矩阵，即存在 $x$使得 $xHx^T\ge0$。
   又由于
   $H=\begin{bmatrix} B & E \\ E^T & C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & -EC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B-EC^{-1}E^T & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I & 0 \\ (-EC^{-1})^T & I \end{bmatrix}$
   假设记为 $H=PNP^T$
   故 $xHx^T=xPNP^Tx^T =(xP)N(xP)^T\ge0$
   不妨记 $y=xP$，故 $yNy^T\ge0$
   如果按照 $B$、 $C$把 $y$分成两部分，则 $y=[y_1,y_2]$
   故 $yNy^T=y_1Sy_1^T+y_2y_2^T\ge0$
   不难发现 $y_1Sy_1^T\ge0$
   故得证。