思考;假设在n进制下,下面的等式成立,567 * 456=150216 ,n的值是()
A. 9
B. 10
C.12
D.18
首先我们最可能想到的方法就是将四个答案分别带进去;
即:(5*9^2+6*9^1+7)*(4*9^2+5*9^1+6)=1*9^5+5*9^4+0+2*9^2+1*9^1+6
(5*10^2+6*10^1+7)*(4*10^2+5*10^1+6)=1*10^5+5*10^4+0+2*10^2+1*10^1+6
(5*12^2+6*12^1+7)*(4*12^2+5*12^1+6)=1*12^5+5*12^4+0+2*12^2+1*12^1+6
(5*18^2+6*18^1+7)*(4*18^2+5*18^1+6)=1*18^5+5*18^4+0+2*18^2+1*18^1+6
虽然这种方法可以算出来,但是这几个算式估计算出来至少也得十几分钟,还不一定算对,自己也就放弃了
现在改进一下,假设这个等式是在n进制的条件下成立,那么可以等式化为:
(5*n^2+6*n^1+7)*(4*n^2+5*n^1+6)
(化简)=20*n^4+49*n3+88*n^3+71*n+42
= n^5+5*n^4+2*n^2+n^1+6
(1)将整理得到的式子两边同时取余42%n =6,将答案带人其中排除了10其他的9,12,18都满足,因为42%10=2;
(2)下一步两边在除以n,在对n取余,得(71+42/n)%n=(1+6/n)%n=(1%n+0)---->(71+42/n)%n=1
(3)结合等式(3)
A. (71+42/9)%9=3,不满足
B. (71+42/12)%12=2,不满足
C. (71+42/18)%12=1,满足
求得n=18,答案为D。