栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。
Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】 5 4 【样例输入2】 3 4
Sample Output
【样例输出1】 36 【样例输出2】 20 对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
思路:
由题意,本题就是求
对前者进行变形
设
进一步转化后
再令
易得
据莫比乌斯反演
最后就可以将最初的式子化成这样:
完成。
AC代码:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
typedef long long LL;
bool check[MAXN+10];
long long prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus()
{
memset(check,false,sizeof(check));
mu[1] = 1;
long long tot = 0;
for(long long i = 2; i <= MAXN; i++)
{
if( !check[i] ){
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(long long j = 0; j < tot; j++)
{
if(i * prime[j] > MAXN) break;
check[i * prime[j]] = true;
if( i % prime[j] == 0){
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}else{
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}
LL f[MAXN],F[MAXN];
int main()
{
int n,m;
Moblus();
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
LL ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) F[i]=1ll*(n/i)*(m/i);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j+=i)
{
f[i]+=1ll*mu[j/i]*F[j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=1ll*f[i]*i;
printf("%lld\n",2*ans-1ll*n*m);
}