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Difficulty

算法难度8，思维难度8，代码难度7

Description

给定背包体积n，有若干个物品（未知），给出1~n体积的完全背包方案数（模p意义下的）

求字典序最小的物品集合方案使得物品体积不超过n，且方案数恰好与给出的相同

$n\le 2^{18} ,p为任意质数$

Solution

那个字典序最小就是安慰选手的233333

首先你应该学习一下vfk的论文《集合幂级数······》，然后你就发现论文里有01背包计数

所以你也应该会推完全背包计数了

我们用 $g(n)$代表体积n的物品是否存在，你就可以先列出来一个式子了

$f=exp(\sum_{i=1}^n g(i)\sum_{j>0}\frac {x^{ij}}{j})$

对两边同时取 $ln$：

$ln(f)=\sum_{i=1}^n g(i)\sum_{j>0}\frac {x^{ij}}{j}$

注意到我们可以计算出来左边，所以我们为了求出 $h$就要对右边进行变形

经过观察之后发现我们可以交换枚举顺序：

$ln(f)=\sum_{i=1}^n x^i \sum_{j|i} g(j)\cdot \frac j i $

也就是：

$ln(f)(n)=\sum_{d|n}g(d)\cdot \frac d n$

我们发现右边的 $n$非常碍事，我们将它移到左边，还有右边的 $g(d)\cdot d$单变量，我们令 $h(d)=g(d)\cdot d$，变形：

$ln(f)(n)\cdot n=\sum_{d|n}h(d)$

那么也就是：

$ln(f)=h*1$

我们就可以反演求得结果：

$h=ln(f)*\mu$

这样需要用到多项式求 $ln$和莫比乌斯反演或狄利克雷卷积

时间复杂度 $O(nlogn)$

这题我并没有AC，我也不想写了

首先因为要写任意模数NTT，还有必须卡常，bzoj时限50s，目前通过的代码多数为48s，极少数可以40s

zzy这题在bzoj卡常好几页没卡过，我就不想卡常了

我的代码是未完成的三模数NTT版

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return f==1?x:-x;
}
const int N=6e5+5;
const int M[3]={469762049,998244353,1004535809};
const int Mi[3]={156587350,332748118,334845270};
int mod,g,gi;
int n,p,R[N],bin[N];
inline int ksm(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(LL)ans*a%mod;
        a=(LL)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void NTT(int *a,int n,int f){
    int L=bin[n];
    for(int i=0;i<n;++i)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for(int i=0;i<n;++i)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int wn=ksm(f==1?g:gi,(mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;++k,w=(LL)w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=(LL)w*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)for(int i=0;i<n;++i)a[i]=(LL)a[i]*ksm(n,mod-2)%mod;
}
int tmp[N],inv[N];
inline void poly_inv(int *A,int *B,int n){
    if(n==1){B[0]=ksm(A[0],mod-2);return;}
    poly_inv(A,B,(n+1)>>1);
    int m;
    for(m=1;m<(n<<1);m<<=1);
    for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=A[i];
    for(int i=n;i<m;++i)tmp[i]=0;
    NTT(tmp,m,1);NTT(B,m,1);
    for(int i=0;i<m;++i)
        B[i]=(2LL*B[i]%mod-(LL)tmp[i]*B[i]%mod*B[i]%mod+mod)%mod;
    NTT(B,m,-1);
    for(int i=n;i<m;++i)B[i]=0;
}
int A_inv[N],A_dao[N];
inline void poly_ln(int *A,int *B,int n){
    int m;
    for(m=1;m<(n<<1);m<<=1);
    for(int i=1;i<n;++i)A_dao[i-1]=(LL)A[i]*i%mod;
    for(int i=n-1;i<m;++i)A_dao[i]=0;
    for(int i=0;i<m;++i)A_inv[i]=0;
    poly_inv(A,A_inv,n);
    NTT(A_inv,m,1);NTT(A_dao,m,1);
    for(int i=0;i<m;++i)B[i]=(LL)A_inv[i]*A_dao[i]%mod;
    NTT(B,m,-1);
    for(int i=n-1;i;--i)B[i]=(LL)B[i-1]*inv[i]%mod;
    B[0]=0;
    for(int i=n;i<m;++i)B[i]=0;
}
int vis[N],prime[N/3],cnt;
int f[N],ln_f[N],mu[N],h[N];
inline void init(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]){mu[i]=-1;prime[++cnt]=i;}
        for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;++j){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
inline void dirichlet(int *f,int *g,int *ans,int n){
    for(int i=1;i<=n;++i)ans[i]=0;
    for(int i=1;i*i<=n;++i){
        ans[i*i]=(ans[i*i]+(LL)f[i]*g[i])%mod;
        for(int j=i+1;i*j<=n;++j){
            ans[i*j]=(ans[i*j]+(LL)f[i]*g[j])%mod;
            ans[i*j]=(ans[i*j]+(LL)f[j]*g[i])%mod;
        }
    }
}
int main(){
    for(int i=0;i<=20;++i)bin[1<<i]=i;
    mod=M[0];g=3;gi=Mi[0];
    n=read();p=read();
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=read();
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i)inv[i]=(LL)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    poly_ln(f,ln_f,n+1);
    init(n);
    for(int i=1;i<=n;++i)ln_f[i]=(LL)ln_f[i]*i%mod;
    dirichlet(ln_f,mu,h,n);
    for(int i=1;i<=n;++i)h[i]=(LL)h[i]*inv[i]%mod;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)if(h[i])cnt++;
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=1;i<=n;++i)if(h[i])printf("%d ",i);
    putchar('\n');
    return 0;
}