图同构(isomorphic)的定义:(不理解直接跳过即可)
if and only if there exists a bijection alpha from vertex set of G to the vertex set of H,such that alpha of u,alpha of v is an edge of H if and only if uv is an edge of G.
下面是举例说明这个式子:
alpha由图中的例子可以清楚的看出,就是一种映射关系,即将图G的12345node映射到图H的54123node。
这种对应关系可以由(153)(24)表示,
即1->5,5->3,3->1如此循环,2->4,4->2如此循环
- note:
telling you: the bijection alpha preserves adjacency and non-adjacency
(其实,alpha就蕴含了node之间的关系)
all the information in a graph is contained in its adjacency matrix
(而关于图的所有信息其实都在邻接矩阵中了,于是核心思想就是,可以通过邻接矩阵判断两个图是否同构。)
而最开始定义中的公式即:
12为图G的一条边,那么根据对应法则,alpha(1)->5,alpha(2)->4,即54对应上了图H的一条边。
同理,因为14不是图G的一条边,因此根据对应法则产生的边52,页不属于图H。
用(邻接)矩阵来定义和描述这种关系:
即:若图G同构于图H,当且仅当存在一个置换矩阵P,使得P*adjacent-matrix(H)*P转置=adjacent-matrix(G)
G和H的邻接矩阵如图,而用permutation matrix可以完美的表示alpha(如图)
验证: