①欧几里得算法

就是求gcd的有趣的辗转相除法，不再赘述啦0v0

代码：

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

②扩展欧几里得算法

需要解决这样的问题：两个非0整数a，b，求一组整数解（x,y），使得ax+by=gcd(a,b).

（PS：证明之后补上0....0）

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

③求逆元

可以解决这样的问题：设a和m是整数，求a模m的逆元（逆元：设abm都是整数，m>1，有ab模m和1模m相等，它们拥有相同的余数，那么ab互为模m的逆元。也就是说，有两个数的乘积，如果模m后等于1,则它们互为m的逆元）。

gcd(a,m)=1有解。

即求ax+my=1=gcd(a,m)。

代码：

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ll inverse(ll a,ll m,ll c)
{
	ll x,y;
	ll g=exgcd(a,m,x,y);
	if(c%g!=0)
		return -1;
	 x*=c/g;
     m/=g;
     if(m<0)
		 m=-m;
    ll ans=x%m;
    if(ans<=0)
		ans+=m;
    return ans;
}

接下来给几个例子0V0↓

例子1：zoj 3609，传送门：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712

题意：输入一个n，给n组a和m，求每组a模m的最小逆元。

吐槽：m=1的情况……窒息了

代码：

//zoj 3609求最小逆元
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

int inverse(int a,int m)
{
	int x,y;
	int g=exgcd(a,m,x,y);
	return (x%m+m)%m;
}

int main()
{
	int a,m,n,x,y;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		cin>>a>>m;
		int ans=exgcd(a,m,x,y);
		if(m==1)
		{
			cout<<1<<endl;
			continue;
		}
		if(ans!=1)
			cout<<"Not Exist"<<endl;
		else
		{
			x%=m;
			if(x<0)
				x=(x%m+m)%m;
			cout<<x<<endl;
		}
	}

	return 0;
}

例子2：hdu 1576，传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
		return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

int inverse(int a,int m)
{
	int x,y;
	int g=exgcd(a,m,x,y);
	return (x%m+m)%m;
}

int main()
{
	int t,n,b;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n>>b;
		int m=9973;
		int ans=inverse(b,m);
		ans=ans*n%m;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

例子3：hdu2668，传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669

模板题0V0

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll gcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
		return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

ll inverse(ll a,ll m)
{
	ll x,y;
	ll g=exgcd(a,m,x,y);
	return (x%m+m)%m;
}

int main()
{
	ll a,m,x,y;
	while(scanf("%lld %lld",&a,&m)!=EOF)
	{
		ll ans=exgcd(a,m,x,y);
		if(ans!=1||m==1)
			cout<<"sorry"<<endl;
		else
		{
			x%=m;
			if(x<0)
				x=(x%m+m)%m;
			cout<<x<<" "<<(1-a*x)/m<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

例子4：poj1061，传送门：http://poj.org/problem?id=1061

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll gcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
		return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

ll inverse(ll a,ll m,ll c)
{
	ll x,y;
	ll g=exgcd(a,m,x,y);
	if(c%g!=0)
		return -1;
	 x*=c/g;
     m/=g;
     if(m<0)
		 m=-m;
    ll ans=x%m;
    if(ans<=0)
		ans+=m;
    return ans;
}

int main()
{
	ll a,b,x,y,l;
	while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&a,&b,&l)!=EOF)
	{
		ll ans=inverse(a-b,l,y-x);
		if(ans==-1)
			cout<<"Impossible"<<endl;
		else
			cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}