博弈论

博弈论适用

一般为博弈论的题目有以下标志

如果不满足上述条件而题目很像博弈的话，可以往dp(状压)或者其他骚东西上考虑
例如:
Gems Fight! [HDU - 4778]

博弈论类题目就目前做过的题来看，一般有两种情况，要么考虑必胜局面推公式或者刷SG表找规律，要么直接码出SG函数

考虑必胜局面的做法一般先推出能一眼看出的必胜局面(最好其他局面都可以向下转化为类似这个必胜局面)，然后推出其他局面和这些必胜局面的关系。有些时候需要大胆一点猜结论

码SG函数的题目一般数据范围很小，因为刷SG表复杂度是记忆化dfs的复杂度，从数据范围上也能看出一点出题人的小心思

考虑一个博弈游戏的所有局面，将其分为两种，先手必胜和先手必败。
每一个局面经过一次合法操作所能到达的局面连一条单向边，就可构成一个类似解空间的有向树

现给出SG函数的定义
$SG(x) = min\{y|y \notin K(x),y \in N\},K(x) = \{ SG(y)|x->y \}$
(看起来很繁琐，其实SG(x)就是与x相连点的SG值中没有出现的最小自然数)

乍一看这个函数的定义很突兀，怎么就和最小自然数联系上了？

现在假设只看 $SG(x)=0$ 以及 $SG(x) > 0$ 两类
博弈终止局面的 $SG$ 值为0，代表先手必败。

现有比较浅显的定理

现在再来考虑刚才简化的 $SG$ 函数
一个点A所连点存在一个 $SG(x)=0$ 的点，那么这个点就是先手必胜( $SG(A)>0$ )，如果一个点A所连点都是 $SG(x)>0$ ，那么这个点就是先手必败( $SG(A)=0$ )

大多数的题目这类简化版的 $SG$ 函数就够用了

而取最小未出现自然数在取石子一类题目中比较常见，类似Nim游戏或者其变种。(如果没有了解过Nim游戏的可以去了解一下，这个结论的推导也是根据 $SG$ 函数来的)

利用完整版的 $SG$ 函数，可以将n堆石子的类Nim游戏分成n个1堆石子的子游戏，然后将n个子游戏的 $SG$ 值异或起来就是整个游戏的 $SG$ 值

推公式方面就是要多大胆假设，把问题往简单的数学模型上靠。
一般检测一个公式是不是正确的可以用一下3步

其实就是推出的式子满足最基本的胜负转换

(就先写这么多吧,也是做了一些题想总结一下,之后有时间的话再带着具体的例子来仔细讲讲)