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洛谷 P3521
BZOJ 2212
LOJ #2163

Solution

• 非常有意思的题
• 一个直观的想法
• 对于一个点 $u$
• 计算出 $cnt_1$ 表示叶子 $v$ 在 $u$ 的左子树内， $w$ 在 $u$ 的右子树内，满足 $v$ 的权值大于 $w$ 的权值的二元组 $(v,w)$ 个数
• $cnt_2$ 表示 $v$ 在右子树内， $w$ 在左子树内
• 如果 $cnt_1>cnt_2$ 则交换 $u$ 的左右子树
• 为最终答案贡献 $\min(cnt_1,cnt_2)$
• 但事实上 $cnt_1+cnt_2$ 等于 $u$ 的左子树大小与右子树大小之积
• 所以我们的关键点就是求 $cnt_1$
• 考虑对每个节点开一棵动态开点权值线段树，储存子树内权值信息
• 设 $u$ 的左子节点为 $lc$ ，右子节点为 $rc$
• 合并 $lc$ 和 $rc$ 所对应的权值线段树作为 $u$ 所对应的权值线段树
• 在线段树合并的过程中统计 $cnt_1$
• 具体地，如果合并线段树节点 $x$ 和 $y$ 的子树
• 那么为 $cnt_1$ 贡献 $size[rc_x]\times size[lc_y]$
• 其中 $lc_x$ 和 $rc_x$ 分别表示线段树节点 $x$ 的左右子节点
• $size[x]$ 表示线段树节点 $x$ 对应值域的权值个数
• 对于每个叶子节点，我们都会新建一条从线段树根到叶子的长度为 $O(\log n)$ 的链
• 而两个线段树节点合并必然导致其中一个点被扔掉
• 复杂度 $O(n\log n)$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

typedef long long ll;

const int N = 3e6 + 5;

int n, ToT, top, stk[N], tot;
ll ans, delta;

struct node
{
	int lc, rc, sum;
	
	void init()
	{
		lc = rc = sum = 0;
	}
} T[N];

struct aruba
{
	int x, y, z;
};

int newnode()
{
	if (top) return T[stk[top]].init(), stk[top--];
	return ++ToT;
}

int segtree(int l, int r, int pos)
{
	int u = newnode(), mid = l + r >> 1;
	T[u].sum = 1;
	if (l == r) return u;
	if (pos <= mid) T[u].lc = segtree(l, mid, pos);
	else T[u].rc = segtree(mid + 1, r, pos);
	return u;
}

int mer(int x, int y)
{
	if (!x || !y) return x + y;
	stk[++top] = y;
	T[x].sum += T[y].sum;
	delta += 1ll * T[T[x].rc].sum * T[T[y].lc].sum;
	T[x].lc = mer(T[x].lc, T[y].lc);
	T[x].rc = mer(T[x].rc, T[y].rc);
	return x;
}

aruba jiejuediao()
{
	int x = ++tot, p = read();
	if (p) return (aruba) {x, segtree(1, n, p), 1};
	aruba lc = jiejuediao(), rc = jiejuediao();
	delta = 0;
	int rt = mer(lc.y, rc.y);
	ans += Min(1ll * lc.z * rc.z - delta, delta);
	return (aruba) {x, rt, lc.z + rc.z};
}

int main()
{
	n = read();
	jiejuediao();
	std::cout << ans << std::endl;
	return 0;
}