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题意:
你现在有n个数,每一个数可以填1到10中的任何一个数,求满足下列条件的序列数量:对于给定的
,当一个数组存在
满足下述方程组的时候:
其中
。
题解:
这题正向思考的话枚举先符合x的、再符合y的、最后符合z的可能会有重复,比如
时
这个序列很容易被多次计算,那么我们不妨考虑用所有的数量减去不符合要求的方案数。
我们发现 都很小并且总和只有17,于是我们考虑状压。这里的状压是这样的,我们对于十进制数 ,把它转化成 位二进制数,如果加上一个数 ,那么就把 左移 位,然后再把第 位变成1。如第一个数是4,那么我们状压后就是1000,再加上2就先把1000左移2位变成100000,再吧第二位变成1,就是100010,这样就表示了当前状态。我们用 位表示所有状态,因为比 更高的位对于我们判断是否合法已经没有用处了,总共有 个状态。我们发现,符合题目要求的情况是第 位是1,第 位是1,第 位是1,那么我们dp转移一下,只要不是这种情况就转移。我们设 为前 个数,当前集合是 的方案数,那么我们枚举一下上一个状态,枚举当前选什么数,然后计算出转移到什么就行了,就是普通的状压dp。最后用 减去所有的 。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,y,z,mx,ji;
const long long mod=1e9+7;
long long ans,dp[45][1000010];
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&x,&y,&z);
ans=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
ans=ans*10%mod;
mx=(1<<(x+y+z))-1;
ji=(1<<(x+y+z-1));
ji|=(1<<(y+z-1));
ji|=(1<<(z-1));
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=0;j<=mx;++j)
{
if(dp[i-1][j]==0)
continue;
for(int k=1;k<=10;++k)
{
int cur=(j<<k)|(1<<(k-1));
cur&=mx;//只取后(x+y+z)位
if((cur&ji)==ji)
continue;
dp[i][cur]=(dp[i][cur]+dp[i-1][j])%mod;
}
}
}
for(int i=0;i<=mx;++i)
ans=(ans-dp[n][i]+mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}