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1. 基本流程

决策树（Decision Tree）是一类常见的机器学习方法。一般的，一颗决策树包含一个根节点、若干个内部节点何若干个叶节点。西瓜问题的决策树如下：

决策树学习的目的是为了产生一颗泛化能力强，即处理未见实例能力强的决策树，其基本流程遵循简单且直观的“分而治之”（divide—and—conquer）策略。决策树学习的基本算法如图所示：

决策树是由递归生成的，再决策树基本算法中，有三种情形会导致递归返回：
（1）当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分；
（2）当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分；
（3）当前结点包含的样本集合为空，不能划分。

2. 划分选择

决策树学习的关键是从属性集中选择最优的划分属性。一般而言，随着划分过程不断进行，我们希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的“纯度”（purity）越来越高。

2.1. 信息增益

ID3（Iterative Dichotomiser—迭代二分器）就是以信息增益为准则来选择划分属性。“信息熵”（information entropy）是度量样本集合纯度中常用的一种指标。
假设当前样本集合D中第k类样本所占的比例为Pk(k = 1,2,…,|y|)，信息熵的计算公式如图所示：

在对样本集D进行划分时，需要考虑样本集的不同离散属性a（如：西瓜色泽包含青绿、乌黑、浅白属性），不用的分支结点中样本数越多的影响越大，于时可计算用属性a对样本D进行划分所获得的“信息增益”（information gain），公式如下：

决策树的生成
下面以表4.1中的西瓜数据2.0为例，用以学习一棵能预测没剖开的是不是好瓜的决策树：

显然，|y|=2。
step1
在决策树开始时，根结点包含D中的所有样例，其中正例占p1=8/17，反例占p2=9/17。根据公式得到根节点的信息熵为：

step2
计算出当前属性集合{色泽，根蒂，敲声，纹理，脐部，触感}中每个属性的信息增益。以属性“色泽”为例，它有3个可能的取值{青绿，乌黑，浅白}。

1. "色泽"属性有3个子集，记为D1（色泽=青绿），D2（色泽=乌黑），D3（色泽=浅白）。
2. D1中包含编号{1，4，6，10，13，17}6个样例，其中正例p1=3/6，p2=3/6;
   D2中包含编号{2，3，7，8，9，15}6个样例，其中正例p1=4/6，p2=2/6;
   D3中包含编号{5，11，12，14，16}5个样例，其中正例p1=1/5，p2=4/5。
3. 计算用“色泽”划分之后所获得的3个分支结点的信息熵
4. 计算出属性“色泽”的信息增益
   

step3:
纹理的属性划分：

1. 属性"纹理"的信息增益最大，于是被选为划分属性，包含{1，2，3，4，5，6，8，10，15}9个样例p1=5/7,p2=2/7，纹理的信息熵为：属性"纹理"的信息增益最大，于是被选为划分属性，包含{1，2，3，4，5，6，8，10，15}9个样例p1=5/7,p2=2/7，纹理的信息熵为：
   $Ent(Dw) = -[5/7·log(5/7)+2/7·log(2/7)]$
2. 基于"纹理"可用属性集合{色泽，根蒂，敲声，脐部，触感}，计算各属性的信息增益：2.基于"纹理"可用属性集合{色泽，根蒂，敲声，脐部，触感}，计算各属性的信息增益：
   
   三个取得最大信息增益，选其中之一作为划分属性即可。

step4
重复上述步骤得到基于信息增益 生成的决策树

2.2. 增益率

在上述的介绍中，若把“编号”也作为一个候选划分属性，信息增益最大将产生17个分支，这些分支结点的纯度已经到达最大。这样的决策树不具有泛化能力，无法对新样本进行有效预测。
实际上，信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响，C4.5决策树算法改为使用“增益率”（gain ratio）来选择最有划分属性。

其中，IV（a）为属性a的“固有值”。属性a的可能取值数目越多（即V越大），则IV（a）通常越大。

注意
C4.5算法并不是直接选择增益率最大的候选划分属性，而是使用了一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

2.3. 基尼指数

CART（Classification and Regression Tree）决策树，使用“基尼指数”（Gini index）来选择划分属性。

公式反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。基尼指数越小，则数据集D的纯度越高。

属性a的基尼指数定义为：

在候选属性集合A中，选择使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性，即

3. 剪枝处理

在决策树学习中，结点划分过程不断重复，会造成决策树分支过多，剪枝（pruning）时决策树对付“过拟合”的主要手段。决策树剪枝的基本策略有“预剪枝”（prepruning）和“后剪枝”（post-pruning）。

3.1 预剪枝

预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点。

预剪枝使得决策树的很多分支都没有“展开”，这不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销。但另一方面，有些分支的当前划分虽不能提升泛化能力、甚至可能导致泛化性能暂时下降，但在其基础上进行的后续划分却有可能导致性能显著提高；预剪枝基于“贪心”本质禁止这些分支展开，给预剪枝带来了欠拟合的风险。

3.2 后剪枝

后剪枝是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。

一般情形下，后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能往往优于预先剪枝决策树。但后剪枝过程是在生成完全决策树之后进行的，并且要自底向上地对树中地所有非叶结点进行逐一考察，因此时间开销比未剪枝决策树和预剪枝决策树都要大得多。

4. 连续与缺失值

4.1. 连续值处理

连续属性的可取值数目不有限，不能直接根据连续属性的可取值来对结点进行划分。这时需要使用连续属性离散化的技术，最简单的策略是采用二分法对连续属性进行处理，这正是C4.5决策树算法中采用的机制。
把区间[aⁱ , aⁱ⁺¹) 的中位点作为划分点，可考察包含n-1个元素的候选划分点集合。

信息增益的计算：

其中Gain(D,a, t)是样本D基于划分点t二分后的信息增益，选择使Gain(D,a, t)最大化的划分点。
实例

密度、含糖率候选值：


各属性的增益率：

递归生成的决策树：

4.2. 缺失值处理

现实任务中，在属性数目较多的情况下，往往会有大量样本出现缺失值，如果舍弃缺失值会造成数据信息极大的浪费，有必要考虑利用有缺失值属性的训练样例来进行学习。

需要解决的问题：
（1）如何在属性缺失的情况下进行划分属性选择？
（2）给定划分属性，若样本在该属性上的缺失，如何对样本进行划分？

给定公式如下：

信息增益计算式：


表4.4数据计算
step1：

step2：


step3：

step4：

生成的决策树：

5. 多变量决策树

“多变量决策树”（multivariate decision tree）能实现“斜划分”。

在多变量决策树的学习过程中，不是为每个叶节点寻找一个最优划分属性，而是试图建立一个合适的线性分类器。

6. 决策树的Python实现

1. 基于信息熵进行划分选择的决策树算法，为表4.3中数据生成一棵决策树。
2. 基于基尼指数进行划分选择的决策树算法，为表4.2中数据生成预剪枝、后剪枝决策树，并于未剪枝决策树进行比较。

7. 参考

1. 《机器学习》—— 周志华
2. 《机器学习》周志华习题4.3答案
3. 《机器学习》周志华习题4.4答案