背景介绍

首先，我是一名菜鸡。
前几天在做bzoj 5283时，经过转化后需要处理这样一个二元函数
$S(x,y)=\sum^{x}_{i=1} C^i_y$
其中有 $Q$组询问， $x\le y\le 2.5\times 10^5, Q\le 2.5\times 10^5$.
做法是：我们发现这个函数的重要性质是，假如已知 $S(x,y)$, 那么我们可以在 $O(1)$的时间内转移得到 $S(x+1,y), S(x-1,y), S(x,y+1), S(x,y-1)$.
于是，我们依照莫队的思想，将所有询问离线下来。
对于询问 $S(x_1,y_1), S(x_2,y_2)$ 按如下的规则进行比较排序：
首先比较 $\frac{x_1}{\sqrt n}$与 $\frac{x_2}{\sqrt n}$的值，小的在前。
如果这两个值相同的话，再比较 $y_1$与 $y_2$.
从一个询问跳到另一个询问时，我们直接暴力一个一个地把左端点从 $x_1$移到 $x_2$, 右端点从 $y_1$移至 $y_2$.
这样对所有询问排序后 ，我们计算左右端点的移动总距离。假设 $Q,n$同阶。
左端点移动距离 $T_1$: 对于每个大小为 $\sqrt n$的块，左端点一定要在块内移动。每次移动的距离不超过 $\sqrt n$, 每个块内移动的总次数不超过 $n$ ( $n$个询问), 总移动的距离不超过 $n\sqrt n$. 这是块内的情况，而左端点在块与块之间移动时，每次移动的距离不超过 $2\sqrt n$, 但是由于只有 $\sqrt n$个块，因此总移动次数不超过 $\sqrt n$, 总距离 $O(n)$. 综上，左端点移动总距离 $O(n\sqrt n)$.
而右端点呢？更简单：对于左端点在同一个大小为 $\sqrt n$的块内的询问，右端点是单调右移的，移动总距离不超过 $n$, 又因为有 $\sqrt n$个块，因此总距离 $O(n\sqrt n)$.
综上，左右端点移动的总距离为 $O(n\sqrt n)$, bzoj 5283这道题已经在 $O(n\sqrt n)$的复杂度内解决，均摊每次询问 $O(\sqrt n)$.（然而bzoj老爷机毒瘤卡常呜呜呜…）

问题引入——三维莫队

刚才，我们处理的是一个二元函数 $S(x,y)$, 具有重要的转移性质。现在我们拓展这个问题，假设我们有一个三元函数 $f(x,y,z)$, 其可以在 $O(1)$的时间内转移到 $f(x-1,y,z), f(x+1,y,z), f(x,y-1,z), f(x,y+1,z), f(x,y,z-1), f(x,y,z+1)$这六个值。有 $Q$次询问，每次询问一个 $f(x,y,z)$的值， $x,y,z\le n$, 是否可以较快速地求出所有询问的答案呢？
假设 $Q, n\le 4.5\times 10^4$.

个人的想法

仿照二维莫队的思路，我们首先对询问进行排序。
瞎逼猜结论QAQ
注：性急的读者请跳过这一段推导，要读的请抱着批判的态度来读，读不懂或者有疑问请继续看下面，否则我概不负责！！！
一个（显然的）猜测是，既然二维莫队 $O(n^\frac{1}{2})$每次，那我们三维的，是不是可以 $O(n^\frac{2}{3})$每次呢？ 对于询问 $f(x,y,z)$, 按照 $\frac{x}{n^\frac{2}{3}}$为第一关键字， $\frac{y}{n^\frac{1}{3}}$为第二关键字， $z$为第三关键字排序， $O(1)$转移询问。
我们来复杂度分析（把大小为 $n^\frac{2}{3}$的块称作大块，大小为 $n^\frac{1}{3}$的块称作小块）： 对于 $x$每个大块内每次询问的移动距离是 $n^\frac{2}{3}$, 总共 $n$次询问，总移动距离 $O(n^\frac{5}{3})$.
对于 $y$，当 $x$在同一个大块内时， $y$的每次移动距离不超过 $n^\frac{1}{3}$, 一共最多移动 $n$次，总距离 $n^\frac{4}{3}$, 对于 $x$不在一个大块内， $y$的移动距离不超过 $n$, 一共最多 $n^\frac{1}{3}$次移动（因为就这么多个大块），总距离 $n^\frac{4}{3}$. 综上， $y$的总移动距离 $O(n^\frac{4}{3})$.
对于 $z$, 总移动距离就是 $O(x,y都不同的询问个数\times n)$. 而前者是 $O(n^\frac{2}{3})$,因此右端点总移动次数是… $O(n^\frac{5}{3})$.
因此，总复杂度为 $O(n^\frac{5}{3})$, 每次询问均摊 $O(n^\frac{2}{3})$！

等等……这个是对的吗……
冷静思考一下：
对于 $z$来说，如果我们按照刚才的方式把 $x$和 $y$分成了若干类，那么这个类别的数目是多少呢？
$x$有 $n^\frac{1}{3}$类， $y$有 $n^\frac{2}{3}$类，那一共是……
相乘， $n$类！！
因此，刚才的分析是错误的，右端点总移动距离为 $O(n^2)$！
呜呜呜……又要重新推了……
算了，不想试数了，我们来形式化地推一发。
设我们的排序方式是第一关键字 $\frac{x}{n^a}$, 第二关键字 $\frac{y}{n^b}$, 第三关键字 $z$.
对于 $x$, 在每个块内移动距离 $O(n^a)$, 总询问数 $O(n)$, 总距离 $O(n^{1+a})$.
对于 $y$, 当 $x$在同一大块内时， $y$每次移动距离 $O(n^b)$, 共 $n$个询问， $O(n^{1+b})$. 当 $x$不在同一大块内时，有 $O(n^{1-a})$个大块，每个大块 $y$要移动 $n$的距离，因此 $O(n^{2-a})$. 综上， $y$移动距离 $O(n^{\max(1+b,2-a)})$.
对于 $z$, 我们考虑 $x,y$的块总共会将 $n$个询问分成 $O(n^{1-a+1-b})$类，对于每一类询问，都要移动 $n$的距离，因此 $z$移动距离 $O(n^{3-a-b})$.
然后我们来最优化。首先，为了让复杂度不至于达到 $O(n^2)$, $3-a-b$必须 $\lt 2$, $a+b\gt 1$. 而对于 $y$的 $\max(1+b,2-a)$, $1+b\gt 2-a$等价于 $a+b\gt 1$, 因此恒满足， $y$的复杂度其实就是 $O(n^{1+b})$.
然后就简单了…… $O(n^{1+a}), O(n^{1+b}), O(n^{3-a-b})$, 平衡一下，显然 $a=b=n^\frac{2}{3}$时取最优， $O(n^\frac{5}{3})$, 单次均摊 $O(n^\frac{2}{3})$.

后记

重申，本人弱鸡，刚刚从bzoj 5283这道题里得到的启发，推了一发写了此文，若有错误敬请大佬们指出，感激不尽。
关于三维莫队问题，目前没有任何一个人跟我讨论过，纯粹是我自己的一点想法，也没有找其他人检验过（我好菜啊），也没有专门看过此类课题的论文，因此文章内容很可能有错误之处。不过刚才推了这么一大串，最后的核心思想就是一个，通过排序平衡三个端点的移动距离。刚才的内容如果正确，还可以推广到更高维的情况，但是更高维大概只有理论价值，实际上并不会比 $O(n^2)$暴力快到哪里去。我相信，这个简简单单的问题早已被之前的大佬们解决，我只是发表一点自己的思考而已。如果哪位大佬在这个问题上有更优秀的做法，敬请指出，谢谢。