第三讲 正项级数的比较审敛法

编程语言 2018-11-28 19:31:47 阅读次数: 0
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一，用比较审敛法的原因

  • 对于大多数级数，很难得到部分和s_{n}的表达式，因此很难用定义\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}来研究其敛散性
  • 比较审敛法不能用于非正项级数

二，正项级数

  • 定义：\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=u_{1}+u_{2}++u_{3}+...+u_{n}+...，其中u_{n\geq }0
  • 部分和s_{n}为单调递增数列
  • 收敛的充要条件：s_{n}有上界
  • 推论：若s_{n}无界，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散，且\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=+\infty
  • 正项级数结合律：发散+发散=发散

三，正项级数的比较审敛法

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}是正项级数，且0\leq u_{n}\leq v_{n}，（n=1,2,3...）
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}收敛，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散，则\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}发散

四，P级数\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}的敛散性

  • 定义：\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}+...，（p> 0）
  • 当0< p\leq 1时：\frac{1}{n^{p}}\geq \frac{1}{n}，因为\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散，所以\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}也发散
  • 当p> 1时：\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}收敛，如图：

五，常用来进行比较的两类正项级数

六，例题

七，比较审敛法的推论

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}是正项级数，且0\leq u_{n}\leq kv_{n}，（k> 0），（n=N+1,N+2,N+3...）
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}收敛，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散，则\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}发散

八，比较审敛法的极限形式

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}是正项级数
  • 若u_{n}和v_{n}是同阶无穷小：\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{v_{n}}=l，（0< l< +\infty），则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}具有相同的敛散性
  • 补充：若\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{v_{n}}=0，当低阶无穷小级数\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}收敛，则高阶无穷小级数\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}也收敛
  • 因此，只要找到u_{n}的同阶（等价）无穷小v_{n}，判断\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}的敛散性，就可以知道\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}的敛散性
  • 例题，如图：

九，极限审敛法

  • 设u_{n}是正项级数的通项
  • 若\lim_{n\rightarrow \infty }n^{p}u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n}}{\frac{1}{n^{p}}}=l，（0< l< +\infty）
  • 则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}具有相同的敛散性

十，正项级数的特殊性质

  • 设\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}是正项级数
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}都收敛，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}收敛，\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}v_{n}}收敛
  • 若\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛，则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}^{2}收敛，\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{u_{n}}}{n}收敛

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