实际工程中，很多用到平衡二叉查找树的地方都是红黑树。
==》为何是红黑树？而不是其他平衡二叉查找树？

• 其他二叉树不适用于单次操作时间非常敏感的场景。
• AVL树对于频繁的插入、删除操作的数据集合代价有些高==》红黑树维护成本比AVL要低
  

一、平衡二叉查找树

平衡二叉树：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于1。
完全二叉树、满二叉树都是平衡二叉树；但非完全二叉树也可能是平衡二叉树

AVL树——最早被发明的平衡二叉查找树

“平衡二叉树”思想：解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。
==》整棵树左右更对称些，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。
==》设计新的平衡二叉树，只要树的高度不比log₂n大很多，就可以说其实一个合格的平衡二叉树。

1、红黑树(Red-Black Tree,简称R-B Tree)

• 红黑树是一种不严格的平衡二叉查找树

（1）红黑树：

• 根节点是黑色的；
• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
• 任何相邻节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点被黑色节点隔开的；
• 每个节点，从该节点到其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。
  

（2）高度分析

• 将红色节点从红黑树中去掉，只留黑色节点
  ==》有些节点没有父节点，它们会将这些节点的祖父节点作为父节点
  ==》会出现多叉树(eg: 四叉树的情况)
  ==》仅包含黑色节点的多叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度要小。
  ==》去掉红色节点的“黑树”的高度不超过log₂n。
  

• 将红色节点添加回去——红色节点不能相邻，也就是说有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将其跟其他红色节点隔开
  ==》高度不会超过2log₂n，也就是说，红黑树的高度近似2log₂n。

（3）小结

红黑树的高度只比高度平衡的AVL树的高度（log₂n）仅仅大了一倍，在性能上，下降得并不多。

二、平衡调整

1、左旋（rotate left）和右旋（rotate right）

红黑树的插入、删除操作会破坏红黑树的定义，也就是说，会破坏红黑树的平衡性。

左旋：围绕某个节点的左旋。
右旋：围绕某个节点的右旋。

2、插入操作的平衡调整

红黑树规定：插入的节点必须是红色的，而且新插入的节点必须放在叶子节点上。

（1）两种特殊情况：

• 若插入节点的父亲节点是黑色的，则不需要做什么。因为：它仍满足红黑树的定义
• 若插入的节点是根节点，则直接改变其颜色，将其变为黑色。
• ==》其他情况，均违背红黑树的定义，则需要进行调整——左右旋转、改变颜色

（2）平衡调整过程——迭代过程

关注关节：正在处理的节点。它会随着不停地迭代处理，而不断发生变化。
==》最开始的关注节点就是新插入的接待呢

新节点插入后，若平衡被打破，则一般会出现下面三种情况：
（这里，将父节点的兄弟节点称为叔叔节点，父节点的父节点称为祖父节点）

case1 : 若关注节点是 a，它的叔叔节点d是红色，则

• 将关注节点 a 的父节点 b 、叔叔节点 d 的颜色均设置为黑色；
• 将关注节点 a 的祖父节点 c 的颜色设置为红色；
• 关注节点变成 a 的祖父节点 c ；
• 跳转case2 或者 case3
  

case2：若关注节点是a，它叔叔节点d是黑色，关注节点a是其父节点b的右子节点，则：

• 关注节点变为节点 a 的父节点 b；
• 围绕新的关注节点 b 左旋；
• 跳转 case3
  

case3：若关注节点是 a，它叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点b的左子结点，则

• 围绕关注节点 a 的祖父节点 c 右旋；
• 将关注节点 a 的父节点 b、兄弟节点 c 的颜色互换；
• 调整结束

3、删除操作的平衡调整

思路：根据关注节点与周围节点的排布特点，按照一定的规则去调整来达到平衡

删除操作的平衡调整方法：

• 第一步，针对删除节点初步调整。
  • 使其的每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（红黑树定义中最后一条）
• 第二步，针对关注节点进行二次调整。
  • ==》不存在相邻的两个红色节点（红黑树定义中第三条）

（1）针对删除节点初步调整

注1：有些节点会被标记成两种颜色，“红 - 黑” 或 “黑 - 黑”。若标记为“黑 - 黑”，则在计算黑色节点个数时，要算成两个黑色节点。
注2：画图时：若一个节点既可以是红色，又可以是黑色==》用一半红色一半黑色表示；若一个节点是“红 - 黑”或“黑 - 黑”==》在左上角用小黑点表示额外的黑色。

case1：若要删除的节点是 a，它只有一个子节点 b，则：

• 删除节点a，并把节点 b 替换到节点 a 的位置；（同普通的二叉树删除操作一样）
• 节点 a 只能是黑色，节点 b 也只能是红色，其他情况均不符合红黑树定义。这种情况下，将节点 b 改为黑色。。
• 调整结束，不需要进行二次调整。
  

case2：若要删除的节点 a 有两个非空子节点，并且它的后继节点就是节点 a 的右子节点 c，则

• 若节点 a 的后继节点就是右子节点 c，那右子节点 c 肯定没有左子树。则把节点 a 删除，并且将节点 c 替换到节点 a 的位置。（该部分与普通的二叉查找树的删除操作相同）
• 然后将节点 c 的颜色设置为与节点 a 相同的颜色；
• 若节点 c 是黑色，为了不违反红黑树最后一条定义，将节点 c 的右子节点 d 多加一个黑色，此时节点 d 就成了“红 - 黑”或“黑 - 黑”；
• 此时，关注节点变成节点 d，第二步的调整就针对关注节点进行操作
  

case3：若要删除的是节点 a，有两个非空子节点，并且节点 a 的后继节点不是右子节点，则：

• 找到后继节点 d，并将其删除，删除后继节点 d 的过程参考 case 1；
• 将节点 a 替换成后继结点 d；
• 把节点 d 的颜色设置为与节点 a 相同的颜色；
• 若节点 d 是黑色，将节点 d 的右子节点 c 多加一个黑色，则节点 c 变成“红 - 黑”或“黑 - 黑”（红黑树定义最后一条）
• 关注节点变成节点 c，第二步调整操作针对关注点进行调整。
  

（2）针对关注节点二次调整

经过初步调整，关注节点变成了“红 - 黑”或“黑 - 黑”节点。
二次调整的目的：红黑树中不存在相邻的红色节点
==》四种情况：

case1：若关注节点是 a，其兄弟节点 c 是红色，则：

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；
• 关注节点 a 的父节点 b 和 祖父节点 c 交换颜色；
• 关注节点不变；
• 继续从四种情况中选择合适的规则来调整。
  

case2：若关注节点是 a，其兄弟节点 c 是黑色，并且节点 c 的 左右子节点 d、e都是黑色，则：

• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色设置为 红色；
• 从关注节点 a 中去掉一个黑色==》节点 a 为单纯的红色或黑色；
• 给关注节点 a 的父节点 b 添加一个黑色==》节点 b 变成“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 关注节点从 a 变成其父节点 b；
• 继续从四种情况中选择符合的规则来调整。
  

case3：关注节点是 a，其兄弟节点 c 是黑色，c 的左子结点 d 是红色，c 的右子节点 e 是黑色，则：

• 围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 左旋；
• 节点 c 和节点 d 交换颜色；
• 关注节点不变；
• 跳转case4，继续调整。
  

case4：若关注节点 a 的兄弟节点 c 是黑色，且 c 的右子节点是红色，则：

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；
• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色，跟关注节点 a 的父节点 b 设置为相同的颜色；
• 将关注节点 a 的父节点 b 的颜色设置为黑色；
• 从关注节点 a 中去掉一个黑色，节点 a 就变成单纯的红色或黑色；
• 将关注节点 a 的叔叔节点 e 设置为黑色；
• 调整结束。
  

三、TIPs

• 找准关注节点，不要搞丢、搞错关注节点