描述

Description

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离： d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即。任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

Input

包含n行：第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, …, n。从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。所给的数据都是正确的，不必检验。

Output

只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

Sample Input

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

Sample Output

HINT

对于70%的数据，n<=200000

对于100%的数据：n<=500000, s< 2^31, 所有权值< 500

题目大意

求一棵树的直径上一段不超过S长的链，使得偏心距最小。

性质

①树的直径不唯一，但所有直径必定相交，并且各直径的中点汇聚于同一处
②所有的直径是等价的，在任意一条直径上求出的最小偏心距都相等
③在树网的核的一端p固定后，另一端q在距离不超过s的前提下越远越好
④直径最长性：从u,p之间分叉离开直径的子树最远点与p的距离不会比u更远
⑤对于树中的任意一点，距离其最远的点一定是树的直径的某一端点

思路

两次DFS求树的直径

设直径上的节点为u1,u2,…,ut，
先把这t个节点标记为“已访问”，
然后通过DFS，
求出d[ui]，表示从ui出发不经过直径上的其他节点能够到达的最远点的距离

以ui,uj（i<=j）为端点的树网的核的偏心距就是：

m a x （ max_{i <= k <= j} {d [u k]} ， d i s t （ u 1, u i ） ， d i s t （ u j, u t ） ）

$max（\max_{i<=k<=j}\{d[uk]\}，dist（u1,ui），dist（uj,ut））$

根据直径的最长性，
$\max_{1<=k<=i-1}\ \{d[uk]\}$ 一定小于 $dist（u1,ui）$
$\max_{j+1<=k<=t}\ \{d[uk]\}$ 一定小于 $dist（uj,ut）$
上式实际上可简化为：

m a x （ max_{1 <= k <= t} {d [u k]} ， d i s t （ u 1, u i ） ， d i s t （ u j, u t ） ）

$max（\max_{1<=k<=t}\{d[uk]\}，dist（u1,ui），dist（uj,ut））$

$max（\max_{1<=k<=t}\ \{d[uk]\}）$ 对于ui,uj来说是一个定值，
所以我们枚举直径上的每个点ui，
同时uj在距离不超过s的前提下，
每次沿着直径向后移动

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500010;
int n,s,x,y,z,tot,head[maxn],d[maxn],p,q,f[maxn],ans=1e9;
bool b[maxn];
struct atree
{
    int y,v,next;
}
a[maxn<<1];
inline int read()
{
    int num=0,flag=1;
    char c=getchar();
    for (;c<'0'||c>'9';c=getchar())
    if (c=='-') flag=-1;
    for (;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
    num=(num<<3)+(num<<1)+c-48;
    return num*flag;
}
void add(int x,int y,int z)
{
    a[++tot].y=y;
    a[tot].v=z;
    a[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
void init()
{
    n=read();
    s=read();//s为树网的核的长度的上界 
    for (int i=1;i<n;++i)
    {
        x=read();
        y=read();
        z=read();
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
}
void dfs(int x,int fa)
{
    f[x]=fa;//f[x]表示x的父亲为fa 
    for (int i=head[x];i;i=a[i].next)
    {
        int y=a[i].y;
        if (y==fa||b[y]) continue;//如果该点为直径上的点，不再继续 
        d[y]=d[x]+a[i].v;
        dfs(y,x);
    }
}
void getd()
{
    dfs(1,0);//从任意一个节点出发DFS 
    for (int i=1;i<=n;++i)
    if (d[i]>d[p]) p=i;//求出与出发点距离最远的节点，记为p 
    d[p]=0;
    dfs(p,0);//从节点p出发DFS 
    for (int i=1;i<=n;++i)
    if (d[i]>d[q]) q=i;//求出与p距离最远的节点，记为q 
}
void work()
{
    for (int i=q,j=q;i;i=f[i])//枚举直径上的每个点i 
    {
        while (f[j]&&d[i]-d[f[j]]<=s) j=f[j];//j在距离不超过s的前提下沿着直径向后移动 
        ans=min(ans,max(d[j],d[q]-d[i]));//比较两端点和直径端点的长度 
    }
    for (int i=q;i;i=f[i])
    b[i]=true;//由于要找出不经过直径的最大深度，所以禁止访问直径上的点 
    for (int i=q;i;i=f[i])
    {
        d[i]=0;
        dfs(i,f[i]);//这里i的父亲必须传进去f[i],否则就修改了直径 
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
    ans=max(ans,d[i]);//d[i]表示从i出发，不经过直径上的其他节点，能够到达的最远点的距离 
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    init();
    getd();//两次DFS求树的直径 
    work();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

NOIP2007/BZOJ1999 树网的核【题解】

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