ST表的算法详解

今天终于完成了传说中ST表的题，woc大佬！！！（其实是蒟蒻的了）

ST表主要用于解决区间最值问题（即RMQ问题），算是一种算法的优化处理吧，我们可以称其为TE的死敌，因为其时间复杂度只有O(nlogn),查询时间为O(1).所以算是一种十分“搞笑”的算法了吧。（23333333333）

***ST表不支持在线修改（我也没搞懂什么意思，大佬们可以在评论里尽情的调侃，haha）

好了，同学们，让我们进入正题，

首先，我们要维护一个二维数组mn[i][j]用来表示从j到j+2^i-1的最小值（长度显然为2^i）
任意一段的最小值显然等于min（前半段最小值，后半段最小值）。 
那么mn[i][j]如何用其他状态来继承呢？ 
j到j+2^i-1的长度为2^i，那么一半的长度就等于2^(i-1)。 
那么前半段的状态表示为mn[i-1][j]。 
后半段的长度也为2^(i-1)，起始位置为j+2^(i-1)。 
那么后半段的状态表示为mn[i-1][j+2^(i-1)]。 
所以： 
mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+2^(i-1)]。

代码实现

目录

log[0]=-1;
for(int i=1;i<=200000;i++)
log[i]=log[i/2]+1;//log[i]表示log(i)的整数部分
for(int i=1;i<=n;i++)
ST[0][i]=a[i];//显然2^0=1,所以a[i]*2^0=a[i](一定要初始化)
for(int i=1;i<=log[n];i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(j+2^i-1<=n)
ST[i][j]=min(ST[i-1][j],ST[i-1][j+2^(i-1)];

搞定了初始化之后，剩下的就是来查询了。 
首先明白一个定理： 
2^log(a)>a/2 
这个很简单，因为log(a)表示小于等于a的2的最大几次方。 
比如说log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3……. 
那么我们要查询x到y的最小值。 
设len=y-x+1,t=log(len) 
根据上面的定理：2^t>len/2 
从位置上来说，x+2^t越过了x到y的中间！ 
因为位置过了一半 
所以x到y的最小值可以表示为min(从x往后2^t的最小值，从y往前2^t的最小值) 
前面的状态表示为mn[t][x] 
设后面（从y往前2^t的最小值）的初始位置是k， 
那么k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1 
所以后面的状态表示为mn[t][y-2^t+1] 
所以x到y的最小值表示为min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1])，所以查询时间复杂度是O（1）

如果大家不明白这些文字叙述，我们可以形象化的用图片表示一下

我们用Max[i][j]表示，从ii位置开始的2^j个数中的最大值，例如Max[i][1]表示的是i位置和i+1位置中两个数的最大值，那么转移的时候我们可以把当前区间拆成两个区间并分别取最大值（注意这里的编号是从1开始的）

查询的时候也比较简单

我们计算出log2​区间长度

然后对于左端点和右端点分别进行查询，这样可以保证一定可以覆盖查询的区间

刚开始学的时候我不太理解为什么从右端点开始查的时候左端点是r-2^k+1

实际很简单，因为我们需要找到一个点xx，使得x+2^k-1=r

这样的话就可以得到x=r-2^k+1

代码实现：

int t=log[y-x+1]
cout<<min(ST[t][x],ST[t][y-2^t+1]<<endl;

ST表到这里大概就讲完了。 
总结的来说求rmq问题有多种方法：线段树，ST表（表示蒟蒻只学了这两种）…. 
线段树预处理O（nlogn），查询O（logn），支持在线修改 
ST表预处理O（nlogn），查询O（1），但不支持在线修改 
要根据题目给出的时限和问题来调整解法，希望对同学们有所帮助吧（蒟蒻奉上）