Butterworth LPF
公式
利用一下方程得到一个和图像相同尺寸的滤波器
,进行滤波:
其中
是一个常数,我们称为截止频率
D(u, v)定义如下:
即在频率域中的点距离中心的距离。(通过对空域做中心变换后,我们在经过快速傅里叶变换之后得到的图像的中心将会是
,中心变换操作可以通过和
做相关得到,可以通过傅里叶变换的平移性得到)
滤波效果
从频域的角度来看,观察我们用来构造滤波器的公式,当维度
保持不变时,随着截止频率
的增大,分母越小,分母的增加速度也越小,也就是滤波器从中心往周围扩散的下降趋势变小了,变得较为平坦,我们可以从下图图像的滤波器的变化可以看出,滤波器亮度高的部分逐渐展开变宽。这也意味着更多的高频成分被保留了,图像的细节也就越明显了。
从空域的角度来看,考虑高斯低通滤波器,再考虑高斯滤波器的傅里叶变换,高斯滤波器的傅里叶变换之后还是一个高斯滤波器,那么显然,高斯滤波器傅里叶反变换之后的结果也是一个高斯滤波器,也就是在空域中。Butterworth低通滤波器结构与效果和高斯低通滤波器相似,那么,当我们对Butterworth反变换与图像在空域中进行卷积,也将会类似在空域中进行高斯滤波后的效果,即对图片进行平滑操作,图像会变得模糊。参考一下空域卷积和到频域的转换式子:
即,空域的卷积相当于频域率的逐点相乘的结果,反过来也就是说,在频域中进行Butterworth滤波,相当于对Butterworth滤波器反变换到空域中和图像做卷积。