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Eigen自带的稀疏矩阵分解功能包括LDLt、LLt分解(即Cholesky分解,这个功能是LGPL许可,不是Eigen的MPL许可)、LU分解、QR分解(这个是3.2版本之后正式Release的)、共轭梯度解矩阵等。另外还提供了到第三方稀疏矩阵库的C++接口,包括著名的SuiteSparse系列(这个系列非常强大,有机会要好好研究一下)的SparseQR、UmfPack等。(欢迎访问计算机视觉研究笔记cvnote.info和关注新浪微博@cvnote )
基本稀疏矩阵操作
Eigen中使用 Eigen::Triplet<Scalar>来记录一个非零元素的行、列、值,填充一个稀疏矩阵,只需要将所有表示非零元素的Triplet放在一个 std::vector中即可传入即可。除了求逆等功能外,Eigen::SparseMatrix 有和 Eigen::Matrix几乎一样的各种成员操作函数,并且可以方便混用。
比如这样:
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#include <iostream> #include "eigen/Eigen/Eigen" int main ( ) { // 矩阵: // 0 6.1 0 0 // 0 0 7.2 0 // 0 0 8.3 0 // 0 0 0 0 using namespace Eigen ; SparseMatrix < double > A ( 4 , 4 ) ; std :: vector < Triplet < double > > triplets ; int r [ 3 ] = { 0 , 1 , 2 } ; // 非零元素的行号 int c [ 3 ] = { 1 , 2 , 2 } ; // 非零元素的列号 double val [ 3 ] = { 6.1 , 7.2 , 8.3 } ; // 非零元素的值 for ( int i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) triplets . emplace_back ( r [ i ] , c [ i ] , val [ i ] ) ; // 填充Triplet A . setFromTriplets ( triplets . begin ( ) , triplets . end ( ) ) ; // 初始化系数矩阵 std :: cout << "A = " << A << std :: endl ; MatrixXd B = A ; // 可以和普通稠密矩阵方便转换 std :: cout << "B = \n" << B << std :: endl ; std :: cout << "A * B = \n" << A * B << std :: endl ; // 可以各种运算 std :: cout << "A * A = \n" << A * A << std :: endl ; return 0 ; } |
用Eigen进行矩阵分解
首先复习一下Cholesky(LLt)、QR和LU分解,说的不对的地方欢迎数学大牛和数值计算大牛来指教和补充。一般来讲LLt分解可以理解成给矩阵开平方,类比于开平方一般针对正数而言,LLt分解则限定矩阵需为正定的 Hermitian矩阵(自共轭矩阵,即对称的实数矩阵或对称元素共轭的复数矩阵)。LU分解则稍微放松一点,可用于一般的方阵(顺便提一句LU分解是图灵发明的)。QR则可用于一般矩阵,结果也是最稳定的。分解算法的效率,三者都是O(n^3)的,具体系数三者大概是Cholesky:LU:QR=1:2:4。Google可以找到很多相关资料,比如我看了这个。
下面试一下用Eigen自带的Eigen::SparseQR 进行我最喜欢的QR分解(其实我更喜欢SVD)。
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#include <iostream> #include "eigen/Eigen/Eigen" #include "eigen/Eigen/SparseQR" int main ( ) { using namespace Eigen ; SparseMatrix < double > A ( 4 , 4 ) ; std :: vector < Triplet < double > > triplets ; // 初始化非零元素 int r [ 3 ] = { 0 , 1 , 2 } ; int c [ 3 ] = { 1 , 2 , 2 } ; double val [ 3 ] = { 6.1 , 7.2 , 8.3 } ; for ( int i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) triplets . emplace_back ( r [ i ] , c [ i ] , val [ i ] ) ; // 初始化稀疏矩阵 A . setFromTriplets ( triplets . begin ( ) , triplets . end ( ) ) ; std :: cout << "A = \n" << A << std :: endl ; // 一个QR分解的实例 SparseQR < SparseMatrix < double > , AMDOrdering < int > > qr ; // 计算分解 qr . compute ( A ) ; // 求一个A x = b Vector4d b ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ; Vector4d x = qr . solve ( b ) ; std :: cout << "x = \n" << x ; std :: cout << "A x = \n" << A * x ; return 0 ; } |
这样就用QR分解解了一个系数矩阵,A和上面的例子是一样的,注意到这个Ax=b其实是没有确定解的,A(1:3, 2:3)是over determined的,剩下的部分又是非满秩under determined的,这个QR分解对于A(1:3, 2:3)给了最小二乘解,其他位返回了0。
另一个注意的地方就是 SparseQR<SparseMatrix<double>, AMDOrdering<int> >的第二个模板参数,是一个矩阵重排列(ordering)的方法,为什么要重排列呢,wikipedia的LU分解词条给了一个例子可以大概解释一下,某些矩阵没有重排直接分解可能会失败。Eigen提供了三种重排列方法,参见OrderingMethods Module。关于矩阵重排列的细节求数值计算牛人指点!我一般就随便选一个填进去了>_<。
除了解方程,这个QR实例也可以用下面代码返回Q和R矩阵:
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SparseMatrix < double > Q , R ; qr . matrixQ ( ) . evalTo ( Q ) ; R = qr . matrixR ( ) ; |
注意到Q和R的返回方法不一样,猜测是因为 matrixQ() 成员好像是没有完整保存Q矩阵(元素太多?)。
用 Eigen::SPQR 调用SuiteSparseQR进行QR分解
SuiteSparseQR效率很高,但是C风格接口比较不好用,Eigen提供了 Eigen::SPQR 的接口封装比如和上面同样的程序可以这样写:
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#include <iostream> #include "eigen/Eigen/Eigen" #include "eigen/Eigen/SPQRSupport" int main ( ) { using namespace Eigen ; SparseMatrix < double > A ( 4 , 4 ) ; std :: vector < Triplet < double > > triplets ; // 初始化非零元素 int r [ 3 ] = { 0 , 1 , 2 } ; int c [ 3 ] = { 1 , 2 , 2 } ; double val [ 3 ] = { 6.1 , 7.2 , 8.3 } ; for ( int i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) triplets . emplace_back ( r [ i ] , c [ i ] , val [ i ] ) ; // 初始化稀疏矩阵 A . setFromTriplets ( triplets . begin ( ) , triplets . end ( ) ) ; std :: cout << "A = \n" << A << std :: endl ; // 一个QR分解的实例 SPQR < SparseMatrix < double > > qr ; // 计算分解 qr . compute ( A ) ; // 求一个A x = b Vector4d b ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ; Vector4d x = qr . solve ( b ) ; std :: cout << "x = \n" << x ; std :: cout << "A x = \n" << A * x ; return 0 ; } |
如果你有用过SuiteSparseQR的话,会觉得这个接口真心好用多了。编译这个程序除了spqr库还需要链接blas库、lapack库、cholmod库(SuiteSparse的另一组件),有一点麻烦。比如我在ubuntu,使用 apt-get install libsuitesparse-* 安装了suitesparse头文件到/usr/include/suitesparse 目录,使用如下命令编译。
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g ++ spqr . cpp - std = c ++ 11 - I / usr / include / suitesparse - lcholmod - lspqr - llapack - lblas |
注意lapack要在blas前面,spqr要在lapack前面。用了c++11是因为上面代码偷懒用了emplace_back ,和矩阵库没关系。
一些效率的经验
SuiteSparseQR毕竟实现更好一些,我的一些经验是比自带Eigen::SparseQR快50%左右吧。
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