解法

参考：https://blog.csdn.net/qq_23997101/article/details/73135615

数学推理题…………………………………………
本质是找a和k，使得： $n=1+a+a^2+...+a^k (k>=1)$
所以有： $n>a^k\Rightarrow \sqrt[k]{n}> a$
又知 $(1+a)^k = 1+C_k^1a+C_k^2a^2+...+C_k^ka^k\ge n$
即有： $a\ge\sqrt[k]{n}-1$
综上，如果a进制化后长为k+1，那么 $\sqrt[k]{n}>a \ge \sqrt[k]{n}-1$，就是：

• $\sqrt[k]{n}$为整数时， $a=\sqrt[k]{n}-1$
• $\sqrt[k]{n}$为非整数时， $a=\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor$

当k越大的时候a越小，k最大有多大呢？
当 $a\ge t$时，k最大为 $a=t$的时候，长度为 $\lceil log_t(n+1)\rceil-1$

所以我们现在得到了2条结论:

1. k确定时，a怎么选：

• $\sqrt[k]{n}$为整数时， $a=\sqrt[k]{n}-1$
• $\sqrt[k]{n}$为非整数时， $a=\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor$

2. t确定时，应该从哪里开始搜： $\lceil log_t(n(t-1)+1)-1\rceil$

所以算法如下：

1. 初始时，t=2，算出一个长度k，再根据k算出一个a（当然这时a明显为2）。
2. 如果a满足条件，那么显然它是最小的，返回
3. 如果a不满足条件，那下一个k在哪呢？下一个k至少要比当前的k小，并且下一个k算出来的a要大于现在的a，所以有： $k = min(k-1, \lceil log_{t+1}(nt+1)-1\rceil)$

有一个坑是k=1的时候算base，明显base=n-1，但是转成浮点再转回整数可能有问题，所以如果最后也没返回结果，默认返回保底的n-1

代码：

class Solution(object):
    def smallestGoodBase(self, n):
        """
        :type n: str
        :rtype: str
        """
        n = long(n)
        import math
        def good_base(n,k):
            tmp = math.pow(n,1.0/k)
            if abs(long(tmp)-tmp)<10**-6:
                return long(tmp)-1
            else:
                return long(tmp)

        def is_good_base(n,k):
            if n%k!=1:
                return False
            if n==1:
                return True
            return is_good_base((n-1)/k,k)
        now = int(math.ceil(math.log(n+1, 2)-1))
        while now>=1:
            base = good_base(n,now)
            if is_good_base(n,base):
                return str(base)
            now = min(int(math.ceil(math.log(n*base+1, base+1)-1)), now-1)
        return str(n-1)