线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

$\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t}$

代入 $t=0$ ，可得 $u(0) = C$ ，因此有 $u(t) = u(0)e^{\lambda t}$ 。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 $n$ 个方程的情况。

$\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始条件为向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0}$

注意，这里 $A$ 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 $\boldsymbol u(t)$ 和 $\boldsymbol v(t)$ 都是方程组的解，那么它们的线性组合 $C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)$ 也是解，我们需要 $n$ 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$ 的解

其中一个解是 $e^{\lambda t} \boldsymbol x$ ， $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，而 $\boldsymbol x$ 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 $A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x$ 可得

$\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u$

这个解的所有部分都有 $e^{\lambda t}$ ，当 $\lambda>0$ 时，解会增长；当 $\lambda<0$ 时，解会衰减。而当 $\lambda$ 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

例 1

求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}$ 。

矩阵 $A$ 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

$\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$

$\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$

这些 $\boldsymbol u$ 依然是矩阵的特征向量，它们满足 $A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1$ 和 $A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2$ ，只不过是系数随着 $t$ 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 $C$ 和 $D$ 。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$ 。

将 $\boldsymbol u_0$ 写成特征向量的线性组合， $\boldsymbol u_0 = c_1 \boldsymbol x_1+\cdots+c_n \boldsymbol x_n$ ；
将每个特征向量 $\boldsymbol x_i$ 乘以 $e^{\lambda_i t}$ ；
全解就是 $e^{\lambda t}\boldsymbol x$ 的线性组合， $\boldsymbol u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t} \boldsymbol x_n$ 。