分治法时间复杂度求解秘籍

本文来自快速入门算法书——《趣学算法》

        分治法的道理非常简单，就是把一个大的复杂的问题分为a(a>1)个形式相同的子问题，这些子问题的规模为n/b，如果分解或者合并的复杂度为f(n)，那么总的时间复杂度可以表示为：

     那么如何求解时间复杂度呢？

1. 递推求解法

   我们上面的求解方式都是递推求解，写出其递推式，最后求出结果。

   例如：合并排序算法的时间复杂度递推求解：

   
   

   
   

2. 递归树求解法

   递归树求解方式其实和递推求解一样，只是递归树更清楚直观的显示出来，更能够形象的表达每层分解的结点和每层产生的成本有多少。例如：如图3-67所示。

   
   

   图3-67 分治递归树

   

3. 大师解法

• 我们用递归树来说明大师解法：

• 如图3-68所示。

1. 
   

   图3-68大师解法递归树

   

   时间复杂度=叶子数*T(1)+成本和

   

   

   时间复杂度=成本和。

   现在我们只需要观察每层产生的成本的发展趋势，是递减的还是递增的，还是每层都一样？每层成本的公比为。     

• 
• 例如：
• 
• 画出递归树，观察每层产生的成本：

成本的公比小于1，时间复杂度按第1层计算；

成本的公比大于1，时间复杂度按最后1层计算；

成本的公比等于1，时间复杂度按第1层*树高计算；

大师解法：

递归树如图3-69所示。

图3-69 大师解法递归树

    首先从递归树中观察每层产生的成本发展趋势，每层的成本有时不是那么有规律，需要仔细验证才行。比如我们得到第3层是(5/16)²n²，需要验证第4层是(5/16)³n²，…。经过验证，我们发现每层成本是一个等比数列，公比为5/16<1，呈递减趋势，那么只需要计算第一项即可。时间复杂度：T(n) =O(n²)。