简述

凸优化会很详细地讲解这三个算法，这个学期刚好有这门课。
这里以期末的大作业的项目中的一个题目作为讲解。

题目

考虑线性测量b=Ax+e，其中b为50维的测量值，A为50*100维的测量矩阵，x为100维的未知稀疏向量且稀疏度为5，e为50维的测量噪声。从b和A中恢复x的一范数规范化最小二乘法模型（任务!!）
$min||Ax-b||_2^2 +(p/2)||x||_1$

• p为非负的正则化参数。
• 提示：
  在本实验中，设x的真值中的非零元素 服从标准正态分布，A中的元素服从标准正态分布，e中的元素服从均值为0，方差为0.1的高斯分布。

要求使用的算法：

• 邻近点梯度下降法
• 交替方向乘子法
• 次梯度法

实验部分

生成数据

• generate-data.py
• 保存数据到二进制文件中

import numpy as np
import random
ASize = (50, 100)
XSize = 100
A = np.random.normal(0, 1, ASize)
X = np.zeros(XSize)
e = np.random.normal(0, 0.1, 50)
XIndex = random.sample(list(range(XSize)), 5)  # 5 稀疏度
for xi in XIndex:
    X[xi] = np.random.randn()

b = np.dot(A, X) + e

np.save("A.npy", A)
np.save("X.npy", X)
np.save("b.npy", b)

邻近点梯度下降法

$min f_0(x) = s(x) + r(x)$

• s为光滑项
• r为非光滑项

算法过程：

$x^{k+\frac{1}{2} } = x^k - \alpha * \nabla{s(x^k)} \\ x^{k+1} = argmin_x{r(x) +\frac{1}{2*\alpha} || x-x^{k+\frac{1}{2}}||^2}$

解析：

这一问本质上就是Lasso的邻近点梯度下降问题。
代入之前的算法过程，得到下面的结果(相比于原来的Lasso简单的变下就好了~)

$x^{k+\frac{1}{2} } = x^k - 2* \alpha * A^T(Ax^k-b) \\ x^{k+1} = argmin_x{ \{(\frac{p}{2})||x||_1+\frac{1}{2*\alpha} || x-x^{k+\frac{1}{2}}||^2} \}$

• 求解argmin的方法–软门限法

关于光滑的部分，直接求导，在不光滑的部分，就求次梯度。
然后关于每个分量部分不进行。可以参照代码中的片段，在中间就为0，在区间之外就是对应的一个正数~

实现领近点梯度法

import numpy as np

A = np.load('A.npy')
b = np.load('b.npy')
X = np.load('X.npy')

ASize = (50, 100)
BSize = 50
XSize = 100
alpha = 0.001
P_half = 0.01
Xk = np.zeros(XSize)
zero = np.zeros(XSize)
while True:
    Xk_half = Xk - alpha * np.dot(A.T, np.dot(A, Xk) - b)
    # 软门限算子
    Xk_new = zero.copy()
    for i in range(XSize):
        if Xk_half[i] < - alpha * P_half:
            Xk_new[i] = Xk_half[i] + alpha * P_half
        elif Xk_half[i] > alpha * P_half:
            Xk_new[i] = Xk_half[i] - alpha * P_half
    if np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2) < 1e-5:
        break
    else:
        Xk = Xk_new.copy()

print(Xk)
print(X)

附加上画图的代码

• 蓝色的是算法最优值的距离（最终的收敛点的距离）
• 黄色的是预测的真实值的距离（一开始生成的数据）
• 距离都用的是二范数

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

A = np.load('A.npy')
b = np.load('b.npy')
X = np.load('X.npy')

ASize = (50, 100)
BSize = 50
XSize = 100
alpha = 0.005
P_half = 0.01
Xk = np.zeros(XSize)
zero = np.zeros(XSize)

X_opt_dst_steps = []
X_dst_steps = []
while True:
    Xk_half = Xk - alpha * np.dot(A.T, np.dot(A, Xk) - b)
    # 软门限算子
    Xk_new = zero.copy()
    for i in range(XSize):
        if Xk_half[i] < - alpha * P_half:
            Xk_new[i] = Xk_half[i] + alpha * P_half
        elif Xk_half[i] > alpha * P_half:
            Xk_new[i] = Xk_half[i] - alpha * P_half
    X_dst_steps.append(np.linalg.norm(Xk_new - X, ord=2))
    X_opt_dst_steps.append(Xk_new)
    if np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2) < 1e-5:
        break
    else:
        Xk = Xk_new.copy()

print(Xk)
print(X)

X_opt = X_opt_dst_steps[-1]

for i, data in enumerate(X_opt_dst_steps):
    X_opt_dst_steps[i] = np.linalg.norm(data - X_opt, ord=2)
plt.title("Distance")
plt.plot(X_opt_dst_steps, label='X-opt-distance')
plt.plot(X_dst_steps, label='X-real-distance')
plt.legend()
plt.show()

交替方向乘子法

$min f_1(x)+f_2(y) \\ s.t. Ax+By=d$

算法过程：

$(x^{k+1}, y^{k+1}) = argmin_{x, y} \{L_c(x, y, v^k)\} \\ v^{k+1} =v^k +c(Ax^{k+1} + B y^{k+1})$

第一步中有交叉项的话，可以类似的换成下面的方式
$x^{k+1}= argmin_x \{L_c(x, y^k, v^k)\} \\ y^{k+1}= argmin_y \{L_c(x^{k+1}, y, v^k)\} \\ v^{k+1} =v^k +c(Ax^{k+1} + B y^{k+1})$

上面说了，这次的问题是一个Lasso问题。
为了使用ADMM算法，这里引入一个新的变元 $Z$

所以一致性约束，就变成了 $X-Z=0$

• $Lc(x, v)$ 出自于 增广拉格朗日算法中所提出的增广拉格朗日函数(augmented lagrangian function)
  $Lc(x, v) = f_0(x) + <v, Ax-b> + \frac{c}{2} ||Ax-b||_2^2\\ Lc(x, v) = L(x, v) + \frac{c}{2} ||Ax-b||_2^2$

也就是在拉格朗日函数的基础上，在加上一个二范数作为penalty。

• 其中 c是一个常数(c>0)

对于这道题目，具体为：

$Lc(x, z,v) = ||b-Ax||^2_2 + <v, z-x> + \frac{p}{2}||z||_1 + \frac{c}{2} ||z-x||^2_2$

代入之后，有（做适当地化简），

$x^{k+1} = argmin_x\{||b-Ax||^2_2-<v^k, x> + \frac{c}{2}||x-z^k||^2_2\} \\ z^{k+1} = argmin_z\{\frac{p}{2} ||z||_1+<v^k, z> + \frac{c}{2}||x^{k+1}-z||^2_2\} \\ v^{k+1} = v^k +c(z^{k+1}-x^{k+1})$

当然，我们注意到，x的更新的话，可以直接给出结果（因为是光滑的），通过矩阵求导，我们可以得到。

$x^{k+1} = \frac{z^k+v^k+2A^Tb}{2A^T*A + c*I}$

而z的计算也可以再做一次变换，

$z^{k+1} = argmin_z\{\frac{p}{2} ||z||_1+ \frac{c}{2}||z-x^{k+1} +\frac{v^k}{c}||^2_2\}$

这个就用软门限的方式来进行求解。

同样关于 $z_i$ 的正负性做分类。然后把x和v作为一个整体看，就是跟之前的软门限一模一样的了~

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

A = np.load('A.npy')
b = np.load('b.npy')
X = np.load('X.npy')

ASize = (50, 100)
BSize = 50
XSize = 100

P_half = 0.01
c = 0.005
Xk = np.zeros(XSize)
Zk = np.zeros(XSize)
Vk = np.zeros(XSize)

X_opt_dst_steps = []
X_dst_steps = []

while True:
    Xk_new = np.dot(
        np.linalg.inv(np.dot(A.T, A) + c * np.eye(XSize, XSize)),
        c*Zk + Vk + np.dot(A.T, b)
    )

    # 软门限算子
    Zk_new = np.zeros(XSize)
    for i in range(XSize):
        if Xk_new[i] - Vk[i] / c < - P_half / c:
            Zk_new[i] = Xk_new[i] - Vk[i] / c + P_half / c
        elif Xk_new[i] - Vk[i] / c > P_half / c:
            Zk_new[i] = Xk_new[i] - Vk[i] / c - P_half / c

    Vk_new = Vk + c * (Zk_new - Xk_new)

    # print(np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2))

    X_dst_steps.append(np.linalg.norm(Xk_new - X, ord=2))
    X_opt_dst_steps.append(Xk_new)
    if np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2) < 1e-5:
        break
    else:
        Xk = Xk_new.copy()
        Zk = Zk_new.copy()
        Vk = Vk_new.copy()

print(Xk)
print(X)

X_opt = X_opt_dst_steps[-1]

for i, data in enumerate(X_opt_dst_steps):
    X_opt_dst_steps[i] = np.linalg.norm(data - X_opt, ord=2)
plt.title("Distance")
plt.plot(X_opt_dst_steps, label='X-opt-distance')
plt.plot(X_dst_steps, label='X-real-distance')
plt.legend()
plt.show()

生成的图

次梯度法

$x^{k+1} = x^k - \alpha^kg_0(x^k)$

其中 $g_0(x)$ 为 $f_0(x)$的次梯度。

对于这个问题其实分成简单，对于一范数来说，其实次梯度就是我们之前说的软门限算法。

这里重新描述一下：

• x不为0的情况下，为符号函数
• x为0的情况下，为[-1, 1]上的任意数

然后前半部分，就是用正常的梯度了。

实现 + 效果

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

A = np.load('A.npy')
b = np.load('b.npy')
X = np.load('X.npy')


def g_right(x):
    Xnew = x.copy()
    for i, data in enumerate(x):
        if data == 0:
            Xnew[i] = 2 * np.random.random() - 1
        else:
            Xnew[i] = np.sign(x[i])
    return Xnew


ASize = (50, 100)
BSize = 50
XSize = 100
alpha = 0.001
p_half = 0.001
alphak = alpha
i = 0

g = lambda x: 2 * np.dot(A.T, (np.dot(A, x) - b)) + p_half * g_right(x)
Xk = np.zeros(XSize)
X_opt_dst_steps = []
X_dst_steps = []

while True:
    Xk_new = Xk - alphak * g(Xk)
    alphak = alpha / (i + 1)
    i += 1
    X_dst_steps.append(np.linalg.norm(Xk_new - X, ord=2))
    X_opt_dst_steps.append(Xk_new)
    print(np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2))
    if np.linalg.norm(Xk_new - Xk, ord=2) < 1e-5:
        break
    else:
        Xk = Xk_new.copy()

print(Xk)
print(X)

X_opt = X_opt_dst_steps[-1]

for i, data in enumerate(X_opt_dst_steps):
    X_opt_dst_steps[i] = np.linalg.norm(data - X_opt, ord=2)
plt.title("Distance")
plt.plot(X_opt_dst_steps, label='X-opt-distance')
plt.plot(X_dst_steps, label='X-real-distance')
plt.legend()
plt.show()