一、复杂度分析(上)

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行。以下举两个例子：

（1）

如果每执行一句话，消耗一个unit_time，该代码执行了(2n+2)*unit_time。

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。T(n) = (2n+2)

综上分析，该段代码的时间为 T(n) = (2n^2+2n+3)*unit_time

以上的规律可以汇总为一条公式

大O就是时间复杂度表示法，该表示法表示的并不是真正的执行时间，而是表示

代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

如何分析一段代码的时间复杂度呢？按照以下三个比较实用的方法。

(1)只关注循环执行次数最多的一段代码。

由于大O这种复杂度表示方法知识表示一种变化趋势，所以我们可以忽略掉常数、低阶、系数，只记录一个最大阶的量级就可以了。

该复杂度为：O(n)

(2)加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。

这里要注意几点：首先，时间复杂度与常数循环没有关系，无论是100次还是10000次都可以忽略。由于时间复杂度表示的是一个时间的趋势，所以无论常量循环多少次，时间复杂度都是不变的。

然后，总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。所以是：O(n^2)。

(3)乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。

T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2)

可以粗略的分为两类：多项式量级 和 非多项式量级, 非多项式只有两个：O(2^n) 和 O(n!)

简单的不解释了，

（1）O(logn)、O(nlogn)

根据上例可以看出，是下面的公式：

通过 2^x=n 求解 x，x =

在时间复杂度的表示方法里，统一以10为底，统一表示为O(logn).

O(nlogn)根据乘法法则可推导，是O(logn)的在外层加入O(n)的循环嵌套

（2）O(m+n)

时间复杂度的全称为渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

该段代码的空间复杂度为O(n)

总结：

从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2 )。