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大致题意:一个数列,如果存在一个i∈[1,n-1],使得前i个数字是1-i的一个排列,那么这个数列和不合法的。现在问1-n的排列中,有多少个不合法的数列。
首先,我们定义一个不合法的序列,它仅被最大的一个i给计算,也即前i个数字是排列,后i+1~n个数字不是排列的情况。这个时候,我们令fn表示长度为n的不合法数列个数,那么显然有:
表示,长度为n的不合法数列个数,首先是前i个要是一个排列,那么有i!种方式。然后后面一定不存在一个排列,那么后面的方案数就是总方案书减去有排列的个数。那么现在考虑如何计算这个数字。
变成下面以后,我么可以分为前后两个部分,前后两部分都是NTT的形式。我们令0!=0,gn为n!的函数。那么就变成了:
整理一下可以有:
那么,我们需要的fn只需要对右边的式子求一个多项式逆元即可。具体见代码(偷了HNU emofunx的板子,实在是太全了)
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod = 998244353;//(119 << 23) + 1;
const int modinv2 = (mod+1)/2; // 1/2 in F_p
const int G = 3;
const int N = 540010;
const int maxn = 530000;
int f[N],g[N],fac[N];
//取模加减乘
inline int add(int a,int b) {return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void inc(int&a,int b) {if ((a+=b)>=mod) a-=mod;}
inline int sub(int a,int b) {return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline void dec(int&a,int b) {if ((a-=b)<0) a+=mod;}
inline int mul(int a,int b) {return (LL)a*b%mod;}
inline int qpow(int x,int n) {int ans=1;for (;n;n>>=1,x=(LL)x*x%mod) if (n&1) ans=(LL)ans*x%mod; return ans;}//quick power
//-------------------------------NTT--------------------------------
int wn[30],iwn[30]; //wn[i] = G^((P-1)/(2^i)) (mod P), iwn[i] = wn[i]^(-1) (mod P)
inline void init() //do this before NTT
{
wn[23] = qpow(G,(mod-1)/(1<<23));
for (int i=22;i>=0;i--) wn[i] = mul(wn[i+1],wn[i+1]);
iwn[23] = qpow(wn[23],(1<<23)-1);
for (int i=22;i>=0;i--) iwn[i] = mul(iwn[i+1],iwn[i+1]);
}
inline void revbin_permute(int a[],int n) {
int i=1, j=n>>1, k;
for (;i<n-1;i++) {
if (i < j) swap(a[i],a[j]);
for (k=n>>1;j>=k;) {j -= k; k >>= 1;}
if (j < k) j += k;
}
}
void NTT(int f[],int ldn,int is) {
int n = (1<<ldn);
revbin_permute(f,n);
for (int i=0;i<n;i+=2) {
int tmp1 = f[i], tmp2 = f[i+1];
f[i] = add(tmp1,tmp2), f[i+1] = sub(tmp1,tmp2);
}
for (int ldm=2;ldm<=ldn;ldm++) {
int m = (1<<ldm), mh = (m>>1);
int dw = is>0?wn[ldm]:iwn[ldm], w = 1;
for (int j=0;j<mh;j++) {
for (int r=0;r<n;r+=m) {
int u = f[r+j], v = mul(f[r+j+mh],w);
f[r+j] = add(u,v);
f[r+j+mh] = sub(u,v);
}
w = mul(w,dw);
}
}
}
//多项式乘法
void convolution(int f[],int g[],int n) {
int ldn; for (int i=20;i>=0;i--) if (n&(1<<i)) {ldn=i;break;}
NTT(f,ldn,1); NTT(g,ldn,1); //会改变g
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = mul(f[i],g[i]);
NTT(f,ldn,-1);
int iv = qpow(n,mod-2);
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = mul(f[i],iv);
}
//多项式求sq
void polysq(int f[],int n) {
int ldn; for (int i=20;i>=0;i--) if (n&(1<<i)) {ldn=i;break;}
NTT(f,ldn,1);
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = mul(f[i],f[i]);
NTT(f,ldn,-1);
int iv = qpow(n,mod-2);
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = mul(f[i],iv);
}
//多项式求inv
//Q(2n) = Q(n) - P*Q^2(n)
void polyinv(int f[],int n) {
static int g[maxn],b[maxn],c[maxn];
for (int i=0;i<n;i++) g[i]=0;
g[0] = qpow(f[0],mod-2);
for (int i=2;i<=n;i<<=1) {
for (int j=0;j<i;j++) b[j] = g[j], c[j] = f[j];
for (int j=i;j<2*i;j++) b[j] = c[j] = 0;
polysq(b,2*i);
for (int j=i;j<2*i;j++) b[j] = 0;
convolution(b,c,2*i);
for (int j=0;j<i;j++) g[j] = (2ll*g[j] - b[j] + mod)%mod;
}
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = g[i];
}
int main()
{
init(); int T;
scanf("%d",&T); g[1]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=100000;i++)
g[i]=f[i]=(LL)f[i-1]*i%mod;
int lg; for(lg=1;lg<=100000;lg<<=1);
polysq(g,lg<<1); f[0]++;
polyinv(f,lg<<1);
convolution(f,g,lg<<2);
while(T--)
{
int x;
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",f[x]);
}
return 0;
}