kmp是用来处理字符串匹配的常见简单算法,网上可以找到很多讲解,这里就不细讲了,一笔带过。
我们知道,暴力匹配两个字符串的复杂度是 的,很多时候我们都不能接受这个复杂度,考虑如何减小复杂度,我们发现在暴力匹配的过程中,会重复匹配很多地方,所以我们从这里下手,进行优化。
引入kmp算法最核心的东西—— $ next$ 数组:
代表当前字符之前的字符串中,有多大长度的相同前缀。例如如果 ,代表位置 之前的字符串中有最大长度为 $k $ 的相同前缀。
意味着在某个字符失配时,告诉你下一步匹配中,模式串应该跳到哪个位置( )。如果 等于 ,则跳到模式串的开头字符,若 且 ,代表下次匹配跳到 之前的某个字符,而不是跳到开头,跳过了 个曾经匹配过的字符。
为什么这 个字符就这样逃过了?我们可以这样感性地理解:
若是在 这个位置失配,那么说明在这个位置之前,模式串和文本串是可以匹配的,也就是一样的,那么我们要是可以预处理下次跳到的地方就好了,这个就是我们预处理的结果:$ next$ 数组。
这样我们的匹配复杂度就降为 :
假设现在文本串 匹配到 位置,模式串 匹配到 位置
-
如果 ,或者当前字符匹配成功(即 ), , 都加一,继续匹配下一个字符;
-
如果 ,且当前字符匹配失败(即 ),则令 不变, 。此举意味着失配时,模式串P相对于文本串S向右移动了 位。
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while(i<slen&&j<plen){
if(j==-1||s[i]==p[j])i++,j++;
else j=Next[j];
if(j==plen)j=Next[j];//到这里就匹配到了一个模式串了。
}
那么我们如何快速地求出$ next$ 数组?
这个过程相当于自己与自己匹配,假设现在对于字符串 ,已经处理到了 位置,和自己匹配到了 位置(显然 ):
-
如果 ,并且 ,那么就是和自己失配了, ;
-
如果 ,那么就是是适配了, , 都加一,同时如果下次匹配的时候在 处失配了,那么我们就跳过枚举前面 个元素,直接匹配 ,所以 。
int j=0;next[0]=-1;
for(int k=1;k<n;k++){
while(j>0&&(p[k]!=p[j])) j=next[j];
j+=(p[k]==p[j]);next[k+1]=j;
}
复杂度 。
单字符串匹配的话,就是模板题不说了,kmp最重要的,还是对$ next$ 数组的运用。(多字符串匹配我还是信仰Sam,XD)
很明显的,我们会得到一个DP方程式:
我们令 表示我们 已经处理到了 ,其中出现了长度为 的连续不吉利数字。
答案显然就是 ,现在考虑如何转移。
令 表示,在长度为 的连续不吉利数字后,跟上数字 后,不吉利数字的长度。
那么就有:
其中 就可以用kmp的$ next$ 数组找到:
int g(int j,int k){
while(j!=-1&&a[j]!=k)j=next[j];
return j+1;
}
我们可以花 的时间把 预处理出来,如何 来dp,但是 特别大,于是我们用矩阵来优化,完整代码如下:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
//char buf[1<<15],*S=buf,*T=buf;
//char getch(){return S==T&&(T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++;}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
if(f)return x;else return -x;
}
const int N=30;
int n,m,mod;
char s[N];
int a[N];
int f[N][N],ans;
struct Matrix{int n,m;int a[N][N];}A,B;
inline Matrix operator *(const Matrix &a,const Matrix &b){
Matrix ret;
ret.n=a.n;ret.m=b.m;
for(int i=0;i<=a.n;i++)
for(int j=0;j<=b.m;j++){
ret.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<=a.m;k++)
ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
}
return ret;
}
int next[N];
int g(int j,int k){
while(j!=-1&&a[j+1]!=k)j=next[j];
return j+1;
}
int main()
{
n=read();m=read();mod=read();
scanf("%s",s+1);
for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=s[i]-'0';
next[0]=-1;
for(int j=-1,i=1;i<=m;next[i++]=++j)
while(j!=-1&&a[i]!=a[j+1])j=next[j];
A.n=0;A.m=m-1;
B.m=B.n=m-1;
A.a[0][0]=1;
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<=9;j++)
B.a[i][g(i,j)]++;
for(;n;n>>=1,B=B*B)if(n&1)A=A*B;
for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+A.a[0][i])%mod;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
manachar算法特别单一,就是求回文串用的,题一般也特别裸,比较套路。
首先,我们知道的,回文串分奇偶,但是如果我们在这个串中每一个字符之间都插入一个特殊字符,那么偶回文串就变成奇回文串了,这样我们就可以只处理奇回文串就行了。
然后就是 数组,表示以这个字符为中点,回文串的最大半径是多少,manachar算法就是 求 数组的算法。下面直接将做法,不讲原理了:
记我们已经处理的回文串已经处理到的最右端为 ,他的对称轴为 ,现在要处理的位置为 ,显然 。
如果 ,那么我们可以确定,已 为中点,回文串的最大半径至少是 。
剩下的就是暴力扩展,记得到时候更新一下 和 ,模板如下:
int RL[N<<1];
void Manacher(char *s,int n){
int MR=0,pos=0;
memset(RL,0,sizeof(RL));
for(int i=0;i<n;i++){
if(MR>i)RL[i]=min(RL[2*pos-i],MR-i);
else RL[i]=1;
while(s[i+RL[i]]==s[i-RL[i]])RL[i]++;
if(i+RL[i]>MR)MR=i+RL[i],pos=i;
}
}
void insert(char *s,int len){
len=strlen(s);P[0]='$';
for(int i=1;i<=len*2+1;i+=2) P[i]='#';
for(int i=0;i<len;i++) P[i*2+2]=s[i];
}
在我们求好 后,很明显的有一个dp,我们把对称轴上的信息移动到起始点和终点:
for(int i=0;i<n;i++){
L[i+RL[i]-1]=max(L[i+RL[i]-1],RL[i]-1);
R[i-RL[i]+1]=max(R[i-RL[i]+1],RL[i]-1);
}
那么,显然的,答案等于:
代码如下:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
//char buf[1<<15],*S=buf,*T=buf;
//char getch(){return S==T&&(T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++;}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch;ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);ch=getchar();}
if(f)return x;else return -x;
}
const int N=1e5+10;
int RL[N<<1],n;
char s[N],P[N<<1];
int L[N<<1],R[N<<1];
void Manacher(char *s,int n){
int MR=0,pos=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(MR>i)RL[i]=min(RL[2*pos-i],MR-i);
else RL[i]=1;
while(s[i+RL[i]]==s[i-RL[i]])RL[i]++;
if(i+RL[i]>MR)MR=i+RL[i],pos=i;
L[i+RL[i]-1]=max(L[i+RL[i]-1],RL[i]-1);
R[i-RL[i]+1]=max(R[i-RL[i]+1],RL[i]-1);
}
}
void insert(char *s,int len){
len=strlen(s);P[0]='$';
for(int i=1;i<=len*2+1;i+=2) P[i]='#';
for(int i=0;i<len;i++) P[i*2+2]=s[i];
}
int main()
{
scanf("%s",s);n=strlen(s);
insert(s,n);
Manacher(P,n*2+2);
for(int i=1;i<=n*2+1;i+=2)R[i]=max(R[i],R[i-2]-2);
for(int i=n*2+1;i>=1;i-=2)L[i]=max(L[i],L[i+2]-2);
int ans=0;
for(int i=1;i<=2*n+1;i+=2)
if(R[i]&&L[i])ans=max(ans,L[i]+R[i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}