朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
1）对于给定的数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入\输出的联合概率分布；
2）然后基于此模型，对给定的输入 $x$,利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出 $y$
下面我们就围绕上面2个步骤进行介绍。

基本概念：

先验概率：是根据以往的经验和分析得到的概率（先验概率是我们在未知条件下对事件发生可能性猜测的数学表示）
后验概率：事情已经发生，要探求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性大小（根据结果反推是由那个原因引起的）
（下面的例子参考这个老哥的博客：https://www.cnblogs.com/yemanxiaozu/p/7680761.html）

$P(加了醋|吃起来是酸的)=\frac{P(加了醋，且吃起来是酸的)}{P(吃起来是酸的)}$

$=\frac{P(吃起来是酸的|加了醋)*P(加了醋)}{P（吃起来是酸的）}$

$=\frac{P(吃起来是酸的|加了醋)*P(加了醋)}{P(吃起来是酸的|加了醋)*P(加了醋)+P(吃起来是酸的|肉变质)*P(肉变质)}$

其中 $P(加了醋|吃起来是酸的)$就是后验概率，所谓后验概率是一种果因概率，即在一个结果已经发生的条件下，可能是其中一个原因造成的概率有多大。

贝叶斯公式： $P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$
贝叶斯公式是由联合概率公式推导出来的：
$P(Y,X)=P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y)$

概率论与数理统计中关于贝叶斯公式的解释：
“如果我们把事件Y看做【结果】，把诸事件X1.X2……看做导致这个结果的可能的【原因】，则可以形象的把全概率公式看做成为【由原因推结果】;而贝叶斯公式则恰好相反，其作用于【由结果推原因】：现在有一个【结果】Y已发生，在众多可能的【原因】中，到底是哪一个导致了这个【结果】”

用机器学习视角理解贝叶斯公式
在机器学习的视角下，我们把X理解为“具有某特征”，把Y理解成“类别标签”，则

$P("属于某类"|"具有某特征")=\frac{P("具有某特征"|“属于某类”)P("属于某类")}{P("具有某特征")}$

P(“属于某类”|“具有某特征”)=在已知某样本“具有某特征”的条件下，该样本“属于某类”的概率。所以叫做『后验概率』。
P(“具有某特征”|“属于某类”)=在已知某样本“属于某类”的条件下，该样本“具有某特征”的概率。
P(“属于某类”)=（在未知某样本具有该“具有某特征”的条件下，）该样本“属于某类”的概率。所以叫做『先验概率』。
P(“具有某特征”)=(在未知某样本“属于某类”的条件下，)该样本“具有某特征”的概率。

朴素贝叶斯法的学习与分类

朴素贝叶斯法通过训练集学习联合概率分布 $P(X,Y)$,具体的，学习以下先验概率分布及条件概率分布
先验概率分布
$P(Y=c_k),k=1,2…K$ ----------------------(1)
条件概率分布
$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},……X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k),k=1,2…K$------------(2)

由（1）和（2）可得到联合概率分布 $P(X,Y)$

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设，所以得名为朴素
具体的，条件独立性假设是：
$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},……X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)=∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

条件独立性假设等于是说：用于分类的特征在类确定的条件下，都是条件独立的。

朴素贝叶斯分类时，对给定的输入 $x$,通过学习到的模型计算后验概率分布 $P(Y=c_k|X=x)$,将后验概率最大的类作为 $x$的类输出。
后验概率计算根据贝叶斯定理：
$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{\displaystyle\sum_kP(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$（3）
(稍微解释一下，上式的分母其实是运用了全概率公式，求的 $P(X=x)$)

把 $P(X=x|Y=c_k)=∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$带入上面的（3）得：

$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\displaystyle\sum_kP(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$
这就是朴素贝叶斯分类的基本公式，
于是朴素贝叶斯分类器可以表示成下面的形式：
$y=f(x)=argmax_{c_k}\frac{P(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\displaystyle\sum_kP(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$(4)

在（4）中分母对于所有的 $c_k$都是相同的，所以，
$y=argmax_{c_k}P(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

后验概率最大化的含义

朴素贝叶斯将实例分到后验概率最大化的类中，这等价于期望风险最小化。

朴素贝叶斯法的参数估计

在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计 $P(Y=c_k)和P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$
可以利用极大似然估计法估计相应的概率。
先验概率P(Y=c_k)的极大似然估计是：
$P(Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N}$
设第j个特征可能取值的集合为 ${a_{j1},a_{j2},……a_{jS_j}}$
则条件概率为：
$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl,y_i=c_k})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$

**朴素贝叶斯算法：**对于给定的数据集，
1）计算先验概率及条件概率
$P(Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N}$

$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl,y_i=c_k})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$

2）对于给定的实例 $x=(x^{(1)},x^{(2)}……x^{(n)})^T$,计算

$P(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

3)确定实例x的类

$y=argmax_{c_k}P(Y=c_k)∏_{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出现所有估计的概率值为0的情况，（如果对于一个新的输入实例，有一个特征值在训练样本中没有出现，则该特征值对一个条件概率就为0）这时会影响到后验概率的计算，是分类产生偏差。
解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计。具体的，条件概率的贝叶斯估计是
$P_λ(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl,y_i=c_k})+λ}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_jλ}$
其中 $S_j$是该维特征对应的特征值的个数。 $λ≥0$,当 $λ=0$时就是极大似然估计，当 $λ=1$时，称为拉普拉斯平滑。

此时对应的，先验概率的贝叶斯估计是：

$P_λ(Y=c_k)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+λ}{N+Kλ}$

连续性变量贝叶斯如何处理？

1）对于连续性变量，不能采用离散变量的方法计算概率。
2）如果样本又太少，那么就不能分成区间计算、
3）对于这种情况，可以假设这些变量都是正态分布，通过样本计算出均值和方差**，也就得到了正态分布的密度函数，有了密度函数，就可以把值带入，算出某一点的密度函数的值。**