玩转算法面试：（二）面试中的复杂度分析

其他 2018-12-31 09:40:59 阅读次数: 0

面试中的时间复杂度分析

到底什么是大O

n表示数据规模
O(f(n)) fn是关于n的一个函数。表示运行算法所需要执行的指令数，和f(n)成正比。

常见算法复杂度

和a.b.c.d这些常数项关系不大。主要还是看它是哪个层级的。

算法A：O(n) 所需执行指令数：10000n
算法B：O(n^2) 所需执行指令数：10n^2

n的规模逐渐增大。算法a.b的指令数变化。

对比

当n大于某个临界点，a一定会超过b。这是量级上的差距。

复杂度很高的算法可能有前面的优势，在数据量很小的时候有意义。

对于所有高级的排序算法，当数据规模小到一定程度，我们都可以使用插入排序法进行优化。10%-15%。细节优化。

不同时间复杂度随着数据规模的增大，

在学术界，严格地讲，O(f(n))表示算法执行的上界
归并排序算法的时间复杂度是O(nlogn)的，同时也是O(n^2)
c.nlogn < a.n^2

在业界，我们就使用O来表示算法执行的最低上界
我们一般不会说归并排序是O(n^2)的

以主导作用的为准：

O( nlogn + n ) = O( nlogn )

O( nlogn + n^2 ) = O( n^2 )

上面的公式要求算法处理的n是一样的。

O( AlogA + B )
O( AlogA + B^2 )

上面这种不能省略

对邻接表实现的图进行遍历：
时间复杂度：O( V + E ) V是顶点个数，E是边的个数。

稠密图，甚至完全图。E是近乎V^2级别。

一个时间复杂度的问题

有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序；之后再将整个字符串数组按照字典序排序。整个操作的时间复杂度？

错误答案

每个字符串n*nlogn + 整个字符串数组：nlogn

错误：1. 字符串的长度和数组长度混淆

假设最长的字符串长度为s；数组中有n个字符串
对每个字符串排序：O(slogs)
将数组中的每一个字符串按照字母序排序：O(n*slog(s))

将整个字符串数组按照字典序排序：O(s*nlog(n))

解释：对于排序算法时间复杂度理解：
nlogn 是 比较的次数。对整型数组排序只需要nlogn次比较。因为两个整数之间比较

O(1)。两个字符串比较不一样O(s)。

O(n*slog(s)) + O(s*nlog(n)) = O( n*s*logs + s*n*logn )
                                            = O( n*s*(logs+logn) )
  1. 字符串数组进行字典序排序。比较nlogn次，每次比较需要O(s)时间复杂度。

算法复杂度在有些情况是用例相关的

插入排序算法 O(n^2)

  • 最差情况：O(n^2)
  • 最好情况：O(n)：近乎有序
  • 平均情况：O(n^2)

快速排序算法 O(nlogn)

  • 最差情况：O(n^2) 不随机。有序
  • 最好情况：O(nlogn) 随机化标定点
  • 平均情况：O(nlogn)

严谨算法最好最差平均。我们经常关注的是大多数。
极端情况心里有数就行了。

数据规模的概念

对 10^5 的数据进行选择排序，结果计算机假死？

int main() {

    for( int x = 1 ; x <= 9 ; x ++ ){
        //10的x次方的幂运算
        int n = pow(10, x);
        
        clock_t startTime = clock();

        int sum = 0;
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
            sum += i;
        clock_t endTime = clock();

        cout<<"10^"<<x<<" : "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<" s"<<endl;
    }
    return 0;
}

运行结果

如果要想在1s之内解决问题：

  • O(n2)的算法可以处理大约104级别的数据；
  • O(n)的算法可以处理大约10^8级别的数据；
  • O(nlogn)的算法可以处理大约10^7级别的数据

因为我们刚才的操作很简单，就是简单的加法。所以正常还需要低估一点。

空间复杂度

  • 多开一个辅助的数组：O(n)

  • 多开一个辅助的二维数组：O(n^2)

  • 多开常数空间：O(1):原地数组排序

递归调用是有空间代价的：
在递归调用前的函数压入系统栈中的。

空间复杂度O(1):
不管n有多大，只开辟了ret。索引i。
不会增加空间。

int sum1( int n ){

    assert( n >= 0 );
    int ret = 0;
    for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )
        ret += i;
    return ret;
}

空间复杂度O(n)
深度是n，系统栈中就要装载n个状态。
递归深度就是递归的空间复杂度

int sum2( int n ){

    assert( n >= 0 );
    if( n == 0 )
        return 0;

    return n + sum2(n-1);
}

常见的复杂度分析

O(1)
没有数据规模的变化

// O(1)
void swapTwoInts( int &a , int &b ){
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
    return;
}

O(n)
循环操作次数为c.n。c是个常数不一定为大于1的数

// O(n) Time Complexity
int sum( int n ){

    int ret = 0;
    for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )
        ret += i;
    return ret;
}

O(n)
循环次数为1/2 n次
字符串翻转。abc-cba.第一个和倒数第一个。第2个和倒数第二个
扫描一半就交换完了：1/2*n次swap操作：O(n)

void reverse( string &s ){

    int n = s.size();
    for( int i = 0 ; i < n/2 ; i ++ )
        swap( s[i] , s[n-1-i] );
    return;
}

O(n^2)
选择排序法。O(n^2)
双重循环: 第一重到n。第二重到n。都是+1.
所执行的指令数和n^2成比例。

i = 0;j执行了n-1次

(n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 0
= (0+n-1)*n/2
= (1/2)n*(n-1)
= 1/2*n^2 - 1/2*n
= O(n^2)

等差数列求和

// O(n^2) Time Complexity
void selectionSort(int arr[], int n){

    for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
        int minIndex = i;
        for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
            if( arr[j] < arr[minIndex] )
                minIndex = j;

        swap( arr[i] , arr[minIndex] );
    }
}

30n次基本操作：O(n)
因为第二层循环是固定的不受n影响的。

// O(n) Time Complexity
void printInformation(int n){

    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        for( int j = 1 ; j <= 30 ; j ++ )
            cout<<"Class "<<i<<" - "<<"No. "<<j<<endl;
    return;
}

o(logn)
对有序数组找到中间元素来判断元素和中间元素的关系。
如果没有查找到，都可以扔掉一半的元素。

二分查找法

n经过几次除以2等于1.log2n = O(logn)

// O(logn) Time Complexity
int binarySearch(int arr[], int n, int target){

    int l = 0, r = n-1;
    while( l <= r ){
        int mid = l + (r-l)/2;
        if( arr[mid] == target ) return mid;
        if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    return -1;
}

O(logn)

n经过几次“除以10”操作后，等于0？
log10n = O(logn)
while循环中每次除以10，直到0结束。
reverse(s)复杂度：1/2 n次的交换操作。s字符串有多少位。与n一致。

string intToString( int num ){

    string s = "";
    string sign = "+";
    if( num < 0 ){
        num = -num;
        sign = "-";
    }

    while( num ){
        s += '0' + num%10;
        num /= 10;
    }

    if( s == "" )
        s = "0";

    reverse(s);
    if( sign == "-" )
        return sign + s;
    else
        return s;
}

常数差距

2n 与 3n的常数级差别

O(nlogn)

第二重循环就是n
第一重size+=size就是乘以2.log2n

// O(nlogn)
void hello(int n){

    for( int sz = 1 ; sz < n ; sz += sz )
        for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
            cout<<"Hello, Algorithm!"<<endl;
}

O(sqrt(n))
x从n走一直走到根号n结束

// O(sqrt(n)) Time Complexity
bool isPrime( int num ){

    for( int x = 2 ; x*x <= num ; x ++ )
        if( num%x == 0 )
            return false;
    return true;
}

bool isPrime2( int num ){

    if( num <= 1 ) return false;
    if( num == 2 ) return true;
    if( num%2 == 0 ) return false;

    for( int x = 3 ; x*x <= num ; x += 2 )
        if( num%x == 0 )
            return false;

    return true;
}

复杂度实验。

我们自以为写出了一个O(nlogn)的算法，但实际是O(n^2)的算法？

如果要想在1s之内解决问题：

  • O(n2)的算法可以处理大约104级别的数据；
  • O(n)的算法可以处理大约10^8级别的数据；
  • O(nlogn)的算法可以处理大约10^7级别的数据

前面的常数差距有可能很大。

实验，观察趋势：

每次将数据规模提高两倍，看时间的变化

四个不同复杂度的算法。

namespace MyAlgorithmTester{

    // O(logN)
    int binarySearch(int arr[], int n, int target){

        int l = 0, r = n-1;
        while( l <= r ){

            int mid = l + (r-l)/2;
            if( arr[mid] == target ) return mid;
            if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
            else l = mid + 1;
        }

        return -1;
    }

    // O(N)
    int findMax( int arr[], int n ){

        assert( n > 0 );

        int res = arr[0];
        for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
            if( arr[i] > res )
                res = arr[i];

        return res;
    }

    // O(NlogN) 自底向上
    void __merge(int arr[], int l, int mid, int r, int aux[]){

        for(int i = l ; i <= r ; i ++)
            aux[i] = arr[i];

        int i = l, j = mid+1;
        for( int k = l ; k <= r; k ++ ){

            if( i > mid )   { arr[k] = aux[j]; j ++;}
            else if( j > r ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
            else if( aux[i] < aux[j] ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
            else                      { arr[k] = aux[j]; j ++;}
        }
    }

    void mergeSort( int arr[], int n ){

        int *aux = new int[n];
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
            aux[i] = arr[i];

        for( int sz = 1; sz < n ; sz += sz )
            for( int i = 0 ; i < n ; i += sz+sz )
                __merge(arr, i, i+sz-1, min(i+sz+sz-1,n-1), aux );

        delete[] aux;

        return;
    }

    // O(N^2) 选择排序
    void selectionSort( int arr[], int n ){

        for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
            int minIndex = i;
            for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
                if( arr[j] < arr[minIndex] )
                    minIndex = j;

            swap( arr[i] , arr[minIndex] );
        }

        return;
    }
}

生成测试用例的代码：

namespace MyUtil {

    int *generateRandomArray(int n, int rangeL, int rangeR) {

        assert( n > 0 && rangeL <= rangeR );

        int *arr = new int[n];

        srand(time(NULL));
        for (int i = 0; i < n; i++)
            arr[i] = rand() % (rangeR - rangeL + 1) + rangeL;
        return arr;
    }

    int *generateOrderedArray(int n) {

        assert( n > 0 );

        int *arr = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; i++)
            arr[i] = i;
        return arr;
    }

}

测试是不是O(n)级别的

int main() {

    // 数据规模倍乘测试findMax
    // O(n)
    cout<<"Test for findMax:"<<endl;
    for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){

        int n = pow(2,i);
        int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);

        clock_t startTime = clock();
        MyAlgorithmTester::findMax(arr, n);
        clock_t endTime = clock();

        cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
        cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

        delete[] arr;
    }

    return 0;
}

运行结果：

运行结果

n增加了两倍。时间也大致增加两倍，所以该算法为O(n)级别的。

测试是不是O(n^2)

int main() {

    // 数据规模倍乘测试selectionSort
    // O(n^2)
    cout<<"Test for selectionSort:"<<endl;
    for( int i = 10 ; i <= 15 ; i ++ ){

        int n = pow(2,i);
        int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);

        clock_t startTime = clock();
        MyAlgorithmTester::selectionSort(arr,n);
        clock_t endTime = clock();

        cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
        cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

        delete[] arr;
    }

    return 0;
}

运行结果：大约4倍

数据量n增加了2倍。时间增加了4倍。

int main() {

    // 数据规模倍乘测试binarySearch
    // O(logn)
    cout<<"Test for binarySearch:"<<endl;
    for( int i = 10 ; i <= 28 ; i ++ ){

        int n = pow(2,i);
        int *arr = MyUtil::generateOrderedArray(n);

        clock_t startTime = clock();
        MyAlgorithmTester::binarySearch(arr,n,0);
        clock_t endTime = clock();

        cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
        cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

        delete[] arr;
    }

    return 0;
}

复杂度试验

 log2N / logN
=  (log2 + logN)/logN
= 1 + log2/logN

当数据规模变大两倍。运行效率增加1.几倍。

运行结果：

运行结果，变化小

顺序查找转换为二分查找，大大提高效率

int main() {

    // 数据规模倍乘测试mergeSort
    // O(nlogn)
    cout<<"Test for mergeSort:"<<endl;
    for( int i = 10 ; i <= 24 ; i ++ ){

        int n = pow(2,i);
        int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n,0,1<<30);

        clock_t startTime = clock();
        MyAlgorithmTester::mergeSort(arr,n);
        clock_t endTime = clock();

        cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
        cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;

        delete[] arr;
    }

    return 0;
}

运行结果：

大约两倍

递归算法的复杂度分析

不是有递归的函数就一定是O(nlogn)!

归并排序 & 快速排序

递归中进行一次递归调用的复杂度分析：

二分查找的递归实现：
左半边或者右半边。无论选那边都只进行一次
每次减半，递归调用的深度为logn，处理问题的复杂度为O(1)

// binarySearch
int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){

    if( l > r )
        return -1;

    int mid = l + (r-l)/2;
    if( arr[mid] == target )
        return mid;
    else if( arr[mid] > target )
        return binarySearch(arr, l, mid-1, target);
    else
        return binarySearch(arr, mid+1, r, target);

}

如果递归函数中，只进行一次递归调用，
递归深度为depth;
在每个递归函数中，时间复杂度为T;
则总体的时间复杂度为O( T * depth )

求和递归实现
递归深度：n
时间复杂度：O(n)

// sum
int sum( int n ){

    assert( n >= 0 );

    if( n == 0 )
        return 0;
    return n + sum(n-1);
}

计算x的n次方的幂运算
我在计算x的n次方时候，如果知道n.2次方
就是x^n/2 * x^n/2

// pow2
double pow( double x, int n ){

    assert( n >= 0 );

    if( n == 0 )
        return 1.0;

    double t = pow(x, n/2);
    //奇数
    if( n%2 )
        return x*t*t;

    return t*t;
}

递归深度：logn
时间复杂度：O(logn)

递归中进行多次递归调用
在进行一次递归调用，深度就是次数。

递归树

20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n
= 2n+1 - 1
= O(2^n)

指数级的算法：非常慢。n在20左右。30就。
剪枝操作：动态规划。人工智能：搜索树

// f
int f(int n){

    assert( n >= 0 );

    if( n == 0 )
        return 1;

    return f(n-1) + f(n-1);
}

归并排序n=8

当n等于8时，层数为3层。每一层处理的数据规模越来越小
一个分成logn层。每一层相加的总体规模还是n

// mergeSort
void mergeSort(int arr[], int l, int r){

    if( l >= r )
        return;

    int mid = (l+r)/2;
    mergeSort(arr, l, mid);
    mergeSort(arr, mid+1, r);
    merge(arr, l, mid, r);
}

分治算法。

主定理

规定了递归情况所有的时间复杂度可能。

均摊复杂度分析 Amortized Time

一个算法复杂度相对较高，但是它是为了方便其他的操作。
比较高的会均摊到整体。

动态数组（Vector）

template <typename T>
class MyVector{

private:
    T* data;
    int size;       // 存储数组中的元素个数
    int capacity;   // 存储数组中可以容纳的最大的元素个数

    // O(n)：一重循环。
    void resize(int newCapacity){

        assert( newCapacity >= size );
        T *newData = new T[newCapacity];
        for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
            newData[i] = data[i];
        delete[] data;

        data = newData;
        capacity = newCapacity;
    }

public:
    MyVector(){

        data = new T[100];
        size = 0;
        capacity = 100;
    }

    ~MyVector(){

        delete[] data;
    }

    // Average: O(1)
    void push_back(T e){

        //动态数组
        if( size == capacity )
            resize( 2* capacity );

        data[size++] = e;
    }

    // O(1)
    T pop_back(){

        assert( size > 0 );
        size --;

        //size是从0开始的。也就是0号索引size为1.
        //所以要拿到最后一个元素，就得size-1
        return data[size];
    }

};

假设当前数组容量为n

均摊

第n+1次会花费O(n)但是会把这n分摊到前面n次操作。也就是变成了O(2)
还是常数O(1)级的。
resize是有条件的，而不是每次都调用。

int main() {

    for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){

        int n = pow(2,i);

        clock_t startTime = clock();
        MyVector<int> vec;
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            vec.push_back(i);
        }
        clock_t endTime = clock();

        cout<<n<<" operations: \t";
        cout<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<" s"<<endl;
    }

    return 0;
}

基本满足2倍关系

删除元素缩小空间。

删除

每次普通删除时间复杂度都为O(1)

只剩下n个。这次resize n 删除这个元素为1

临界点震荡无法均摊

重复这个过程，无法均摊，复杂度为O(n)

当元素个数为数组容量的1/4时，resize.为再添加元素留出余地

template <typename T>
class MyVector{

private:
    T* data;
    int size;       // 存储数组中的元素个数
    int capacity;   // 存储数组中可以容纳的最大的元素个数

    // O(n)
    void resize(int newCapacity){

        assert( newCapacity >= size );
        T *newData = new T[newCapacity];
        for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
            newData[i] = data[i];
        delete[] data;

        data = newData;
        capacity = newCapacity;
    }

public:
    MyVector(){

        data = new T[100];
        size = 0;
        capacity = 100;
    }

    ~MyVector(){

        delete[] data;
    }

    // Average: O(1)
    void push_back(T e){

        if( size == capacity )
            resize( 2* capacity );

        data[size++] = e;
    }

    // Average: O(1)
    T pop_back(){

        assert( size > 0 );
        T ret = data[size-1];
        size --;
        if( size == capacity/4 )
            resize( capacity/2 );
        //resize之后会把data[size]元素抹掉
        return ret;
    }

};

运行结果

均摊复杂度：

  • 动态数组
  • 动态栈
  • 动态队列



作者：天涯明月笙
链接：https://www.jianshu.com/p/f0dab13c4714
 

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