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第二节、极限
一、极限的定义
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① 数列极限的定义
对于数列{Xn},常数a,若对∀ε>0,∃正整数N,当n>N时,有|xn-a|<ε,则称a为{xn}的极限,或者称{xn收敛于a},记为
n→∞limxn=a
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② 当
x→∞ 时
f(x) 的极限
若存在常数A,∀ε>0,∃正数X,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→∞时的极限,记为
x→∞limf(x)=A
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③ 当
x→x0 时 (
x0为有限值)
f(x) 的极限
若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的极限,记为
x→x0limf(x)=A
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④ 当
x→x0 时 (
x0为有限值)
f(x) 的左右极限
若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<x-x0<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的右极限,记为
x→x0+limf(x)=A 或 f(x0+0)=A
若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<x0-x<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的左极限,记为
x→x0−limf(x)=A 或 f(x0−0)=A
二、数列极限的基本性质
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① 极限的唯一性
如果{xn}收敛,那么它的极限唯一。
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② 收敛数列的有界性
如果{xn}收敛,那么{xn}一定有界。
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③ 收敛数列的保号性
如果
limn→∞xn=a,且a>0(或a<0),那么∃正整数N,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)。
- 推论1
如果
limn→∞xn=a,
limn→∞yn=b,且a>b,那么∃正整数N,当n>N时,xn>yn。
- 推论2
如果∃正整数N,当n>N时,xn≥0(或xn≤0),
limn→∞xn=a,那么a≥0(或a≤0)。
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④ 收敛数列与其子数列间的关系
如果{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。
三、函数极限的基本性质
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① 极限的唯一性
如果
limx→x0f(x)=A,
limx→x0f(x)=B,那么A=B。
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② 函数极限的局部有界性
如果
limx→x0f(x)=A,那么∃δ>0,f(x)在{x|0<|x-x0|<δ}内有界。
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③ 函数极限的局部保号性
如果
limx→x0f(x)=A,而且A>0(或A<0),那么∃常数δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)。
如果在x0的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且
limx→x0f(x)=A,那么A≥0(或A≤0);
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④ 函数极限与数列极限的关系
如果
limx→x0f(x)=A存在,{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足xn≠x0,那么{f(xn)}必收敛,且
limx→x0f(x)=A。
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⑤ 复合函数的极限
设y=f(u)在点u=a处连续,又
limx→x0φ(x)=a,则
limx→x0f[φ(x)]=f(a)。
四、无穷小量与无穷大量
1.定义
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无穷小量
如果
limf(x)=0(x→x0或x→∞),那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷小量。
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无穷大量
如果
limf(x)=∞(x→x0或x→∞),那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷大量。
2.性质
3.无穷小量的比较
设在自变量x的同一变化过程中(如x→x0或x→∞),α(x),β(x)都是无穷小:
如果
limβ(x)α(x)=0,则称α(x)是β(x)的 高阶无穷小 ,记作
α(x)=ο(β(x))。
如果
limβ(x)α(x)=∞,则称α(x)是β(x)的 低阶无穷小 。
如果
limβ(x)α(x)=c(c̸=0),则称α(x)与β(x)是 同阶无穷小 。
如果
limβ(x)α(x)=1,则称α(x)与β(x)是 等阶无穷小 ,记作
α(x)∼β(x)。
如果
limβ(x)kα(x)=c(c̸=0),则称α(x)是β(x)的 k阶无穷小 。
- 等价无穷小替换定理
设在自变量x的同一变化过程中,α1(x),α2(x),β1(x),β2(x)都是无穷小,而且α1(x)~α2(x),β1(x)~β2(x),如果
limβ2(x)α2(x)=A,则
limβ1(x)α1(x)=limβ2(x)α2(x)=A。
4.常用等价无穷小
当x→0时,有
sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ex−1∼ln(1+x)∼x
1−cosx∼21x2
ax−1∼xlna
(1+x)m−1∼mx
五、极限的四则运算
如果
limf(x),
limg(x) 存在,且
limf(x)=A,
limg(x)=B,则有
lim[f(x)±g(x)]=A±B,
lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B,
limg(x)f(x)=BA(B̸=0),
limf(x)g(x)=AB(A>0),
六、极限存在的判别方法
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① 单调有界定律
单调增加(或单调减小)且有上界(或有下界)的数列{xn}必有极限
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② 夹迫定律
如果数列{xn},{yn},{zn}满足下列条件:
yn≤xn≤zn(n=1,2,⋅⋅⋅),
limn→∞yn=a,limn→∞zn=a,那么数列{xn}的极限存在,且
limn→∞xn=a。