传送门
对于出题人 $zxyoi$先 $\%$为敬题目需要龟速乘差评。
题意简述： $5e5$组数据，给出n，请你求出所有n位数中有偶数个5的有多少， $n\le1e18$

思路：一眼数位 $dp$，哎哟这 $n$怎么这么大绝望.jpg
既然是 $zxyoi$大毒瘤的题自然要推一推式子了无奈.jpg
考虑对每一位构造生成函数:

1. 首位: $F(x)=8+x$
2. 非首位: $F(x)=9+x$

所以答案就是 $(8+x)(9+x)^{n-1}$展开之后所有次数为偶数的项的系数之和。
然后来一波变形：
$(8+x)(9+x)^{n-1}=(x+9)^n-(x+9)^{n-1}$
<=> $\frac{(1+9)^n-(-1+9)^n}2-\frac{(1+9)^{n-1}-(-1+9)^{n-1}}2$ 使用二项式定理进行变形
<=> $\frac{10^n+8^n-10^{n-1}-8^{n-1}}2$
然后常规快速幂感觉挺慢的就上了一波倍增预处理。
代码