在所有学科当中，很少有像数学这样，抽象度如此高，通用性如此广泛地学科。

牛顿写过《自然哲学的数学原理》，赫尔曼·外尔写过《数学与自然科学之哲学》，似乎数学轻易地就能跟哲学扯上联系。

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下面讨论一个数学问题，由 Pietro Mengoli 于1644年首次提出，问题是：

$$\sum\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+… = ?$$
Leonhard Euler 于1734年首次给出解答，答案为:
$$\sum\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^2}+…= \frac{\pi^2}{6}$$
为纪念欧拉的努力，遂以欧拉家乡巴塞尔命名，即 巴塞尔问题。

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这里粗略讨论一种跟欧拉不同的解法。更容易理解 : )

step 1：假设有一个周长为2的圆，两端点间的距离$d = \frac{2}{\pi}$，也即圆的直径。

step 2：根据毕达哥拉斯定理，d满足：

$$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} = \frac{\pi^2}{4}$$

step 3：然后继续画圆，因为：

$$\frac{1}{d_1^2} = \frac{1}{d_3^2} + \frac{1}{d_4^2}$$
$$\frac{1}{d_2^2} = \frac{1}{d_5^2} + \frac{1}{d_6^2}$$
所以有：
$$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{d_3^2} + \frac{1}{d_4^2} + \frac{1}{d_5^2} + \frac{1}{d_6^2}= \frac{\pi^2}{4}$$

step 4: 当以上过程重复无限多次，圆无限大时，就有:

$$…+\frac{1}{{-5}^2}+\frac{1}{{-3}^2}+(-1)^2+1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2} +… = \frac{\pi^2}{4}$$
可得，
$$1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+… = \frac{\pi^2}{8}$$
因为偶数项占 $\frac{1}{4}$，所以奇数项占 $\frac{3}{4}$ ，即：
$$\frac{3}{4} \sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}$$
$$\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}$$

完