参考资料
- https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8890603
- https://blog.csdn.net/qq_32400847/article/details/51474105
- https://blog.csdn.net/yzmck/article/details/4302554 原理解释的很赞
- http://www.doc88.com/p-079198350775.html
- http://www.docin.com/p-802993408.html 看算法效率部分
问题描述
给定n个大小不等的圆c1,c2,…,cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中,且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如,当n=3,且所给的3个圆的半径分别为1,1,2时,这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为。
问题大方向分析
圆排列问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架,设开始时a=[r1,r2,……rn]是所给的n个元的半径,则相应的排列树由a[1:n]的所有排列构成。
1. center计算圆在当前圆排列中的横坐标,由x^2 = sqrt((r1+r2)^2-(r1-r2)^2)推导出x = 2*sqrt(r1*r2)。
2.Compute计算当前圆排列的长度。变量lenmin记录当前最小圆排列长度。数组r存储所有圆的半径。数组x则记录当前圆排列中各圆的圆心横坐标。
3. 在递归算法Backtrack中,当i>n时,算法搜索至叶节点,得到新的圆排列方案。此时算法调用Compute计算当前圆排列的长度,适时更新当前最优值。当i<n时,当前扩展节点位于排列树的i-1层。此时算法选择下一个要排列的圆,并计算相应的下界函数。
代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=4;
double minlen=10000,x[N],r[N];//分别为最小圆排列长度,每个圆心横坐标,每个圆半径
double bestr[N];//最小圆排列的半径顺序
double center(int t)//得到每个圆的圆心坐标
{
double temp=0;
for(int j=1;j<t;++j)//因为目标圆有可能与排在它之前的任一圆相切,故需一一判断
{
double xvalue=x[j]+2.0*sqrt(r[t]*r[j]);//不是r[j],是x[j],要被自己蠢哭了
if(xvalue>temp)
temp=xvalue;
}
return temp;
}
void compute()
{
double low=0,high=0;
for(int i=1;i<N;++i)
{
if(x[i]-r[i]<low)
low=x[i]-r[i];
if(x[i]+r[i]>high)
high=x[i]+r[i];
}
if(high-low<minlen)
{
minlen=high-low;
for(int i=1;i<N;++i)
bestr[i]=r[i];
}
}
void backtrack(int t)
{
if(t==N)
{
compute();
}
else
{
for(int j=t;j<N;++j)
{
swap(r[t],r[j]);
double centerx=center(t);
if(centerx+r[t]+r[1]<minlen)
{
x[t]=centerx;
backtrack(t+1);
}
swap(r[t],r[j]);
}
}
}
int main()
{
r[1]=1,r[2]=1,r[3]=2;
cout<<"每个圆的半径分别为:";
for(int i=1;i<N;++i)
cout<<r[i]<<' ';
cout<<endl;
backtrack(1);
cout<<"最小圆排列长度为:"<<minlen<<endl;
cout<<"最优圆排列的顺序对应的半径分别为:";
for(int i=1;i<N;++i)
cout<<bestr[i]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
详解上诉代码
定义数组那几个就不讲了,看看注释就行了。下面来重点讲解一下三个功能函数。
1.首先是center函数,center计算圆在当前圆排列中的横坐标,由x^2 = sqrt((r1+r2)^2-(r1-r2)^2)推导出x = 2*sqrt(r1*r2),这个很容易理解吧。下面有人就会有疑惑了,为啥要把计算圆心坐标的公式放在一个for循环里面呢,我们很容易会有一个先入为主的思想,那就是后一个圆必然与排在它前一个位置的圆相切,其实排在任意位置的圆与其前或后的任意一个圆都有可能相切的,画个图就很清晰了。
大致就是这个意思,只要大小合适,目标圆就有可能与排列中的任意一个圆相切,搞明白了这个问题,那让我们顺着计算机的思维继续往下走,假设我们现在要求x[3]的坐标,只能从前往后的一一比较(此时x[1]和x[2]是已知的),先得到x[1]+a的值(即x[3]的可能坐标),再得到x[2]+b的值(与上一次的可能值相比较,若距离更大则更新,否则不做处理),后面依次类推。
有人可能会问为啥x[2]+b不能作为x[3]的值?很简单,圆2与圆3不相切,得到的b比实际的大,结果就偏大了。
友情提醒:for(int j=1;j<t;++j),因为for循环在初始化后是紧接着进行判断的,故当t=1时,j<1不成立直接跳过本次循环,直接返回temp=0,
故x[1]=0.
2.接下来说下backtrack函数,这里用到的核心方法就是回溯法,回溯法 最重要的就是求出界限函数.按问题性质,可画出子集树或排列树.
if(centerx+r[t]+r[1]<minlen)的作用是剪枝,先判断当前层是否在范围内,是则继续搜索下一层,否则直接回溯。下图是不进行剪枝时,六种可能性都搜索一遍的过程。
3.最后我们来解释一下compute函数,这个其实弄明白了上面的相切的概念,这就so easy 了,夸张一点,我们可以想象其中任意的一个圆无限大或无限小,无限大的话那其余的圆就可以统统忽略了。因为已知所有圆的x[]和r[],很容易求出每个圆的左右坐标,通过比较找出最小的左部坐标和最大的右部坐标,一减就是该圆排列的长度,然后把每次不同的排列长度相比较,找到更小的minlen就更新。