1.二叉树定义
树结构产生的由来：为了解决数组和链表在修改元素和查找元素的复杂度上做平衡。树是一种半线性结构，经过某种遍历，即可确定某种次序。以平衡二叉搜索树为例，修改与查找的操作复杂度均在O(logn)时间内完成。
树的性质：连通无环图，有唯一的根，每个节点到根的路径唯一。有根有序性。
节点的深度:节点到根部的边的数目。树高为深度最大值。内部节点，叶节点，根部节点。节点有高度，深度，还有度数。
节点高度：对应节点子树的高度，叶节点高度为0.，由该子树某一叶节点的深度确定。节点度数：其孩子总数。
二叉树：应用广泛。每个节点的度数不超过2.有序二叉树树，孩子作为左右区分。
K叉树：每个节点的孩子均不超过K个。
将有序多叉树转化为二叉树：满足条件为同一节点的所有孩子之间满足某一线性次序。转化条件：为每个节点指定两个指针，分别指向其长子和下一兄弟。
应用：编码问题。每一个具体的编码方案都对应于一颗二叉编码树。
例如：原始ASCII文本经过编码器成为二进制流，再经过解码器成为文本信息。每一个文本的基本组成单位都是一个字符，由一个特定字符集构成。编码表表示某一个字符所对应的特定二进制串。关键是确定编码表。根据编码表来解码和编码。
前缀无歧义编码：各字符的编码串互不为前缀，可保证解码无歧义。PFC编码。
二叉编码树：将字符映射到二叉树的叶节点，由叶节点到根部的二进制串。由二叉编码树可构建编码表，可顺利编码。
解码是：从前向后扫描该串，同时在树中移动，直至抵达叶节点，输出字符。再次回到根节点。这一解码过程可在接受过程中实时进行，属于在线算法。
关键问题：如何构造PFC编码树呢？
二，如何构建二叉树
二叉树的基本组成单位：节点
节点成员：节点值，父节点指针，左右孩子节点指针，节点高度。
构造函数：默认构造，初始值构造；
操作接口：节点后代总数，插入左右孩子节点（约定当前节点无左右孩子），取直接后继节点（中序遍历后的次序），子树四种遍历，比较，判等。
在二叉树节点的类的基础上构建二叉树类。
树成员：树规模，根节点指针
树构造函数：默认构造函数，析构函数
树操作接口：规模，判空，树根指针，插入根节点，插入左右孩子或左右子树，删除某节点子树，遍历，比较器，节点高度更新。
高度更新策略:每当有节点加入或离开二叉树，则更新其所有祖先的高度。
在每一节点V处，只需读取其左右孩子的高度并取二者之间的最大值，再计入当前节点本身，就得到了V的新高度。
树的遍历：按照某种约定的次序，对各节点访问依次且一次。
各节点与其孩子之间约定某种局部次序。V，L，R。有VLR,LVR,LRV三种选择。先中后，可知先左后右是必须的，只是V的次序发送变化。
输入：树节点位置X
输出：向量visit，即为遍历后的次序
递归调用：
travaPre(x,visit){
if x 为空，则返回；
visit（x->data）;
travaPre(x->lc,visit);
travaPre(x->rc,visit);
}
递归版均为线性时间，但常系数较大。
可观察知右子树为尾递归，左子树为接近于尾递归，且不为线性递归。
一般消除尾递归，可用while循环解决。
迭代版：消除尾递归的一般性方法，即借助辅助栈来解决。
先序递归的访问局部次序为根，左，右。要保证每个节点均会被访问到，且只能访问一次。即要求每个节点均会被入栈，且也会被弹出，且均只有一次。当栈为空，则结束。可简单推导出栈的弹出规律。
迭代先序方法一：简单式方法，根据访问次序，严格尾递归解决。trePre(x,visit){
stack<>s;
if(x) s.push(x);
while(!s.empty()){
x=s.pop();visit(x);
if(x->rc) s.push(x->rc);
if(x->lc) s.push(x->lc);
}
}
迭代先序方法二：批次入栈，然后访问.一般性方法是第一批先入栈并访问，直到叶节点。
trepre(x,visit){
stack<>s;
while(true){
visitFirst(x,visit,s);
if(s.empty()) break;
x = S.pop();
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
visit(x);
if(x->rc) s.push(x->rc);
x=x->lc;
}
}
迭代中序方法：trepre(x,visit){
stack<>s;
while(true){
visitFirst(x,visit,s);
if(s.empty()) break;
x = S.pop();visit(x);
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
s.push(x);
x=x->lc;
}
}
迭代版后序方法：关键是抓主停止入栈的条件。迭代后序停止入栈的条件为
：左节点为叶节点时，停止入栈。trepre(x,visit){
stack<>s;
if(x) s.push(x);
while(true){
if(x->parent!=s.top())
{visitFirst(s.top(),visit,s);}
if(s.empty()) break;
x = S.pop();visit(x);
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
if(x->right) s.push(x->right);
if(x->left) ) s.push(x->left);x=x->left;
if(!x->left && x->right) x=x->right;
if(!x->left && !x->right) break;
}
}
由以上总结可知，不管是先序,中序还是后序，均可用同一种算法解决。只是先序的第一种算法更加简单。树的层次遍历：也即广度优先遍历。节点访问次序为先上后下，先左后右。辅助队列的规模为n/2，包含满二叉树。算法如下：
迭代式层次遍历：队列来解决。
travel（x,visit）{
Queue<> q;
if(x) q.enqueue(x);
while(!q.empty()){
x=q.dequenue();visit(x);
if(x->lc) q.enqueue(x->lc);
if(x->rc) q.enqueue(x->rc);
}
}
按入队的次序将从0起将各节点X编号为r(x).则从0-n都对应于完全二叉树中的某一个节点。将所有节点存入向量结构，各节点的rank即为其编号。即完全二叉树节点以层次遍历所得到的顺序存入向量结构中。即可提高对树的存储和处理效率。那么又如何知道节点之间的关系呢？满足以下规律：
r(L)=r(x)*2+1;即可。完全二叉树：叶节点只能出现在最底部的两层，且最底层叶节点均处于次底层叶节点的左侧。高度为h的完全二叉树，规模介于2h和2h-1之间。规模为n的完全二叉树，高度为log2N.
满二叉树：所有叶节点均处于最底层。
三 如何构建PFC编码树
ASCII文本---->编码器（编码树，向量实现编码森林）---->解码器（基于树的遍历）---->文本。
根据字符集构造编码树，从而得编码表也就是字典得形式，从而将文本转换为二进制流。
根据编码树得遍历对二进制流解码为字符。
可自底而上地构造PFC编码树。首先，由每一个字符分别构造一颗单节点二叉树，并将其视作一个森林。此后，反复从森林中取出两颗树合二为一。经过n-1次迭代后，初始森林中得n颗树将合并为一颗完整得PFC编码树。接下来，再将PFC编码树转译为编码表。算法如下：
算法总体框架:向量实现PFC森林，其中各元素对应于一颗编码树，其data为相应字符。
1.初始化PFC森林：
创建空森林，对每一个可打印得字符，创建一颗相应得PFC编码树，并
将字符作为根节点插入到PFC编码树中。返回PFC森林。
2.构造完整得PFC编码树：
设置随机数time
while循环字符数-1次：
创建新树S“^”;随机选取森林中的第r1颗树，将其作为S的左子树接入，
然后剔除森林中的r1树，随机选取森林中的r2树，将其作为S的右子树接入。
然后剔除森林中的r2树，合并后的PFC树重新植入森林。
最后，该向量只剩一棵树，并返回。
3.生成PFC编码表：
通过遍历的方式获取从根节点到叶节点的字符串。
如何记录该字符串？用string或者位图。
类似先序遍历的递归模式。局部子结构为VLR。也就是说先序遍历模式可用来获取从根节点到叶节点的每一条路径。
结果，返回字典，记录每一个字符所对应的字符串。
该树的叶节点均为字符树，内部节点和根节点均为字符“^”.
PFC编码树的高度不统一，不平衡的状态表明其并不一定是最优编码树。还可以优化。
平均编码长度也就是叶节点平均深度。最优编码树不唯一但存在。其特点是：真二叉树，叶节点深度之差不超过一。真完全树满足要求。构造方法：创建包含2*n-1个节点的真完全二叉树，并将字符分配给n个叶节点，即可得到一颗最优编码树。四，如何构建Huffman编码算法
最优编码树的实际应用价值并不大，所以如何衡量平均编码长度？
1.带权平均编码长度 与字符出现概率有关。退出最优带权编码方案。
策略与算法：对于字符出现概率已知的任一字符集A，可采用如下算法构造以下编码树：
HUFFMAN编码算法：
1.对于字符集中的每一个字符，分别建立一颗树，其权重为该字符的频率。
2.从该森林中取出两颗权重最小的树，创建一个新节点，合并它们，其权重取作二者权重之和。依次迭代即可
3.再次强调HUFFMAN编码树只是最优带权编码树中 的一颗。
关键点是如何找到森林中权重最小的两颗树？用遍历法。
首先在计算字符集的频率时就已知其顺序。那么在构造森林时，即可按顺序排列，用向量来做。从小到大。
首先取出两个最小的，移除后，再合并插入原向量，就要查找位置，用二分查找。然后插入。从而更新顺序。
移除和查找，还有插入均花时间。移除O（n），查找o(logn),插入。
用列表来做，查找最小值花时间，插入和删除很快。五，平衡二叉搜索树
要求对象集合的组成可以高效率的调整，又可以高效率的查找，所以需要有树。查找分为循RANK访问，循关键码访问。数据对象均表示为词条形式。词条拥有两个变量KEY ,VALUE。KEY可以比较。
二叉搜索树。条件：顺序性。任一节点的左子树的所有节点必不大于该节点，其右子树的所有节点必不小于该节点。也就是说：R>=V>=L。
特点：中序遍历单调非降。中序遍历一致的二叉搜索树为等价二叉搜索树。
查找算法：减而治之策略，与二分查找类似。返回查找位置，若成功则返回该节点，若失败返回其父亲位置和返回空。
控制查找时间，必须控制二叉搜索树的高度。
插入算法：先查找具体位置，再插入，再更新祖先高度。若有相同节点则失败。取决于树高。
删除算法：分为两种情况，一是只有一个孩子时：将其替换为其孩子也就是其父节点指向其孩子，同时释放该节点，更新祖先高度。
双分支情况：1.找到该节点后继，交换二者的数据项，将后继节点等效视为待删除的目标节点。转到情况一。总体复杂度也取决于树的高度。
平衡二叉搜索树：采取的平衡为适度平衡，而不是理想平衡。AVL树，伸展树，红黑树，kd-树均属于平衡二叉搜索树。
适度平衡性是通过对树中的每一局部增加某种限制条件形成的。任何二叉搜索树均可等价变换为平衡二叉搜索树，但在最坏情况下可花费O(n)时间。
局部性失衡调整方法：围绕特定点的旋转。
ZIG：两个节点，三个子树，旋转。节点，C,V，子树X,Y,Z,。C为V的左孩子，Z为V的右孩子，X,Y为C的左右孩子。
V的ZIG旋转:V的父节点指向C，C的左右孩子为X，V。V的左右孩子为Y,Z。V的右旋，V成为C的右孩子。
同理：zag：节点C,V。C为V的右孩子。V的父节点指向C，C的左右孩子为V，Z。V的左右孩子为X,Y。V的左旋，V成为C的左孩子。
六，AVL树
定义：平衡因子受限的二叉搜索树，各节点的左右子树高度相差不超过一。插入删除均在O(LOGN)时间内完成。
1.完全二叉搜索树必是AVL树。
经过插入与删除而失衡的搜索树重新恢复平衡的调整算法。
插入节点后失衡的节点为X的祖先且高度不低于X的祖父。
平衡算法：从X节点自低向上找到第一个失衡者。记为G，在X与G的通路上，P为G的孩子，V为P的孩子。
V可能为X，也可能为X的祖先。
最重要的是G,P,V三个节点，找到它们。经过旋转，使得G重新平衡，则整树可恢复平衡。
插入算法：
确认目标节点不存在，返回其父节点。
从父节点出发，找到第一个失衡节点：
若失衡则：
该节点为G，找到节点V,根据G的孩子高的为P，P的孩子高的为V。若等高，优先取V与P同向 者。
1.根据G,P,V的不同情况，而进行不同的旋转。G,P，V的高度发生变化。
2.根据3+4算法使其恢复平衡。
退出。
不失衡：更新该节点高度。
删除与插入算法一样，只是删除算法中只有一个失衡节点。
“3+4算法”：
根据G，P,V三者的顺序不同，所以connect34的参数也不同。
P,V同一方向节点，则P->PARENT=G->PARENT,不同则V->PARENT=G->PARENT;
connect34(a,b,c,T0,T1,T2,T3);
a,b,c代表G,P,V三者的中序遍历顺序。T0，T1，T2，T3代表四颗子树的遍历顺序。
connect34: a->lc=T0;if(T0) T0->parent=a;
a->rc=T1,if(T1) T1->parent=a;updateHeight(a);
c->lc=T2,if(T2) T2->parent=c;
c->rc=T3;if(T3) T3->parent=c;updateheight(c);
b->lc=a;a->parent=b;
b->rc=c;c->parent=b;updateheight(b);
return b;
依次类推:对于调整局部的旋转问题，也可按类似方法解决。 