一、数论函数

定义与约定

符号约定

积性函数

若有一函数 $f$, 对于
$\forall \ x,y\in S$ 使得
$x * y \in S , f(x)f(y)=f(xy)$
则称 $f$在 $S$下具有积性,也称 $f$为 $S$下的积性函数.

完全积性函数

若函数 $f$在实数域 $R$下具有积性,则我们称 $f$具有完全积性,称 $f$为完全积性函数.完全积性函数属于积性函数.

不完全积性函数

若有一函数 $f$, 不存在集合 $S$使得 $f$为 $S$下的积性函数,但存在二元组 $<x,y>$使得
$f(x)f(y)=f(xy)$
成立,则我们称 $f$为不完全积性函数.
不完全积性函数不属于积性函数.

数论函数

若存在函数 $f$,对于 $\forall$二元组 $<x,y>\{<x,y>| x,y \in N^*\}\cap\{<x,y>|(x,y)==1\}$,使得 $f(x)f(y)=f(xy)$成立,则称 $f$为数论函数.
完全积性函数属于数论函数.
大部分数论函数都具有不完全积性.

数论函数的运算

若有数论函数 $f(x),g(x)$, 则以下函数亦有数论积性.
$(f(x))^{-1},(f·g)(x),(f*g)(x),f(g(x))$
考虑证明:

1. $g(x)=(f(x))^{-1}$的数论积性.
   $g(xy)=\frac{1}{f(xy)}=\frac{1}{f(x)}*\frac{1}{f(y)}=g(x)g(y)$
2. $h(x)=(f·g)(x)$的数论积性.
   $h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)g(x)f(y)g(y)=h(x)h(y)$
3. $h(x)=(f*g)(x)$的数论积性.
   $h(xy)=\sum^{xy}_{d|xy}g(d)f(\frac{xy}{d})=\sum^{x}_{d_1|x}\sum^{y}_{d_2|y}g(d_1d_2)f(\frac{xy}{d_1d_2})$
   $=\big(\sum^{x}_{d_1|x}g(d_1)f(\frac{x}{d_1})\big)\big(\sum^{y}_{d_2|y}g(d_2)f(\frac{y}{d_2})\big)=h(x)h(y)$
4. $h(x)=f(g(x))$的数论积性
   $h(xy)=f(g(xy))=f(g(x)g(y))=f(g(x))f(g(y))=h(x)h(y)$

注意，数论函数的取反、加、减、数乘绝大多数情况下不满足以上性质.
数论函数运算法则满足函数运算法则.

狄利克雷卷积的运算法则及证明

1.交换律 : $(f*g)(x)=(g*f)(x)$
$(f*g)(x)=\sum^{x}_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})=\sum^{x}_{\frac{x}{d}|x}f(\frac{x}{d})g(\frac{x}{\frac{x}{d}})=\sum^{x}_{\frac{x}{d}|x}f(\frac{x}{d})g(d)=(g*f)(x)$
2.结合律 : $(f*g*h)(x)=(f*(g*h))(x)$
$(f*g*h)(x)=\sum^x_{d_1|x}f(d)\sum^{\frac{x}{d_1}}_{d_2|\frac{x}{d_1}}g(d_2)h(\frac{x}{d_1d_2})$
$=\sum^x_{abc=x}f(a)g(b)h(c)=\sum^x_{a|x}f(a)(g*h)(\frac{x}{a})=(f*(g*h))(x)$
3.加法分配率 : $((f+g)*h)(x)=(f*h+g*h)(x)$
$((f+g)*h)(x)=\sum^x_{d|x}(f+g)(d)h(\frac{x}{d})=\sum^x_{d|x}f(d)h(\frac{x}{d})+g(d)h(\frac{x}{d})=(f*h+g*h)(x)$
4.单位元 : $(\varepsilon*f)(x)=f(x)$
不难构造 $\varepsilon(x)=[x==1]$
5.逆元: $(f*f^{*})(x)=\varepsilon(x)$

以上说明，运算 $[*]$对于数论函数构成一个阿贝尔群

莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

令 $I(x)=1$,定义则其狄利克雷卷积的逆元为 $\mu(x)$
则
$(I*\mu)(x)=\varepsilon(x)$
$\mu(x)=\left\{ \begin{aligned} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [x==1] \\ (-1)^{p} \ \ \ \ \ \ \ [x=\prod p_i^{a_i},p \in prime,a_i \in \{0,1\}] \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise \end{aligned} \right.$