振动、波动

简谐振动方程（上册P135_5-2）

• $x=Acos(\omega t+\varphi)$
• $v=-wAsin(wt+\varphi)$
• $a=-w^2Acos(wt+\varphi)$

推导
$F=-kx$
$a=\frac{F}{m}=-\frac{k}{m}x$
$\frac{k}{m}=\omega^2$
$a=-\omega^2x$
$\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}+\omega^2x=0$，对其求微分方程的解

• $T=\frac{2\pi}{\omega}$
• 弹簧振子振动周期： $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}$
• 使用旋转矢量判断相位
• 在x-t图中，相位 $\varphi$为矢量与x轴正方向的夹角

1. 习题5-2

$\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{\frac{5\pi}{6}}{1s}=\frac{5}{6}\pi s^{-1}$
$T=\frac{2\pi}{\omega}=2.40s$

波形图判断介质质点状态（上册P166_6-2）

• 机械波波速： $u=\frac{\lambda}{T}=\lambda \nu$
• 平面简谐波波动方程： $y=Acos\omega(t-\frac{x}{u})$
  角波数： $k=\frac{2\pi}{\lambda}$，波传播单位长度所走过的相位
  $y=Acos(wt-kx)$，x有正有负，负即为波向x轴负方向传播
  更一般的形式： $y=Acos[w(t-\frac{x-x_0}{u})+\varphi]$
• 介质质点状态使用旋转矢量判断

1. 习题6-2

A点处于正半轴最高处，相位为0
B点处于平衡点处，将向下运动，相位为 $\frac{\pi}{2}$
C点处于平衡点处，将向上运动，相位为 $\frac{3\pi}{2}$
D点处于正半轴，将向下运动，相位处于0到 $\frac{\pi}{2}$之间

平面简谐波的能量

• $E=E_k+E_p$
• $E=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2=\frac{1}{2}kA^2$

两个同方向的同频率简谐振动的合成（上册P135_5-4）

• 可以使用旋转矢量法求振动的合成
• 合振幅： $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\varphi_2-\varphi_1)}$
• 合振动的初相： $tan\varphi=\frac{A_1sin\varphi_1+A_2sin\varphi_2}{A_1cos\varphi_1+A_2cos\varphi_2}$

1. 习题5-4

使用旋转矢量即可知相位差为120度时，合振幅仍为A

增透膜镀膜（下册P172_例题2）

• 双缝干涉明条纹： $x=\pm k\frac{d'\lambda}{d}，k=0,1,2,\ldots$
  $d'$为双缝与屏的距离， $d$为双缝之间的距离
  明条纹之间的距离/双缝与屏的距离 $\approx$若干波长/双缝之间的距离
• 双缝干涉暗条纹： $x=\pm \frac{d'}{d}(2k+1)\frac{\lambda}{2}，k=0,1,2,\ldots$
• 光程差与相位差的关系： $\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta}{\lambda}$
  干涉加强： $\Delta=\pm k\lambda，k=0,1,2\ldots$
  干涉减弱： $\Delta=\pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}，k=0,1,2\ldots$
• 劳埃德镜：当光线从折射率小的介质射向折射率大的介质，反射光会发生相位跃变半个波长
• 薄膜干涉：薄膜折射率大于空气折射率
  $\Delta_r=2n_2d+\frac{\lambda}{2}=k\lambda，k=1,2,\ldots(加强)$
  $\Delta_r=2n_2d+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2}，k=0,1,2,\ldots(减弱)$

1. 例题2

在氟化镁薄膜上下两界面的反射光均有半个波长的相位跃变
光程差： $2n_2d=(k+\frac{1}{2})\lambda，k=0,1,2\ldots$
$d=\frac{(k+\frac{1}{2})\lambda}{2n_2}$，当k=0时，d最小
$d=\frac{\lambda}{4n_2}$

马吕斯定律（下册P209_14-32）

• 若入射检偏器的光强为 $I_0$，则检偏器射出的光强为： $I=I_0cos^2\alpha$
  $\alpha$是起偏器偏振化方向和检偏器偏振化方向的夹角

习题14-32
设自然光光强在入射光强度的占比为x
$5\times \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x+(1-x)$
$x=\frac{1}{3}$

布儒斯特定律

• 入射角 $i_B$满足 $tani_B=\frac{n_2}{n_1}$时，反射光中只有垂直于入射面的光振动，而没有平行于入射面的光振动，这是反射光为偏振光，折射光为部分偏振光， $i_B$叫做起偏角或布儒斯特角，此时反射光与折射光垂直： $i_B+r_B=\frac{\pi}{2}$
• 形象的来说，振动方向平行于介质表面的的光易被反射，而垂直于介质表面的光易被折射