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先看看两道题:
BZOJ 4176 - Lucas的数论
51Nod 1220 - 约数之和
这两题,一个是求
i=1∑nj=1∑nσ0(ij),一个是求
i=1∑nj=1∑nσ1(ij),很自然的让人联想到求
i=1∑nj=1∑nσk(ij)。更巧合的是,两题的起点都在一个对
σ 的转换上。具体而言,对
σ0(n) 可以转化为
i∣n∑j∣m∑[gcd(i,j)=1],对
σ1(n) 可以转化为
s∣m∑t∣n∑smt[gcd(s,t)=1]。尤其是在对后者有一个感性认识后能自然联想到这样的转换:
σk(n)=s∣m∑t∣n∑skmktk[gcd(s,t)=1],并且的确可以通过归纳证明。这在处理
σk 相关问题时可以作为一个思考方向。