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• 洛谷 RemoteJudge
• Codeforces 438E

Meaning

• 给定一个 $n$ 元正整数集合 $S$
• 对于任意的 $1\le i\le m$
• 求有多少棵不同（形态不同或点权不同）的点带权无标号有根二叉树的所有点权和为 $i$ （所有的点权都在集合 $S$ 内）
• $1\le n,m,S内的元素\le10^5$

Solution

• 先列出 DP 式子： $f[i]$ 表示点权和为 $i$ 的方案数， $f[0]=1$
• $f[i]=\sum_{k\in S,k\le i}\sum_{j=0}^{i-k}f[j]f[i-k-j]$
• 设 $f$ 的生成函数为 $F(x)$ ，则
• $f[i]=\sum_{k\in S,k\le i}[x^{i-k}]F(x)^2$
• 再设生成函数
• $G(x)=\sum_{k\in S}x^k$
• 则
• $f[i]=\sum_{k=1}^i[x^k]G(x)[x^{i-k}]F(x)^2=[x^i]G(x)F(x)^2$
• 于是再加上边界条件 $f[0]=1$ ，得
• $F(x)=1+G(x)F(x)^2$
• 解关于 $F(x)$ 的一元二次方程得
• $F(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$
• 注意到 $[x^0]G(x)=0$ ，所以 $G(x)^{-1}$ 不存在，当 $\pm$ 取 $+$ 时分子的 $0$ 次项不为 $0$ ，这样显然是没有意义的，所以
• $F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}=\frac2{1+\sqrt{1-4G(x)}}$
• 使用多项式开平方 + 多项式求逆解决
• 最后科普一下多项式开平方
• 先假设你会多项式求逆
• 考虑和多项式 exp 一样使用牛顿迭代求解
• 大概就是我们要求一个多项式 $G(x)\equiv \sqrt{F(x)}(\bmod x^n)$
• 也就是 $G(x)^2-F(x)\equiv 0(\bmod x^n)$
• 根据牛顿迭代
• $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f'(x)}$
• 得到多项式开平方的迭代
• $G_{k+1}(x)=G_k(x)-\frac{G_k(x)^2-F(x)}{2G_k(x)}$
• 其中 $G_k(x)$ 表示 $F(x)$ 模 $x^{2^k}$ 意义下的开平方
• 其中 $G_0(x)=\sqrt{[x^0]F(x)}$
• 迭代到 $G_k(x)$ 满足 $2^k\ge n$ 时，我们就求得了模 $x^n$ 的开平方
• 考虑复杂度，对模 $x^n$ 开平方的复杂度 $T(n)$ 满足
• $T(n)=T(\frac n2)+O(n\log n)$
• $T(n)=O(n\log n)$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Step(i, a, b, x) for (i = a; i <= b; i += x)
#define Pow(k, n) for (k = 1; k < n; k <<= 1)

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
inline void Swap(T &a, T &b) {a ^= b; b ^= a; a ^= b;}

const int N = 14e5 + 5, ZZQ = 998244353;

int n, m, cnt[N], rev[N], ff = 4, tot = 2, gg = 748683265, omega[N],
sqrtc[N], invc[N], tmp[N], invsq[N], pmt[N];

int qpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = 1ll * res * a % ZZQ;
		a = 1ll * a * a % ZZQ;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void FFT(int n, int *a, int op)
{
	int i, j, k = n >> 1;
	For (i, 0, n - 1) if (i < rev[i]) Swap(a[i], a[rev[i]]);
	omega[n] = qpow(3, (ZZQ - 1) / n * (op == 1 ? 1 : n - 1));
	while (k)
		omega[k] = 1ll * omega[k << 1] * omega[k << 1] % ZZQ, k >>= 1;
	Pow(k, n)
	{
		int x = omega[k << 1];
		Step (i, 0, n - 1, k << 1)
		{
			int w = 1;
			For (j, 0, k - 1)
			{
				int u = a[i + j], v = 1ll * w * a[i + j + k] % ZZQ;
				a[i + j] = (u + v) % ZZQ;
				a[i + j + k] = (u - v + ZZQ) % ZZQ;
				w = 1ll * w * x % ZZQ;
			}
		}
	}
}

void getinv(int n, int *a, int *res)
{
	int i, k, ff = 4, gg = 748683265, tot = 2;
	res[0] = qpow(a[0], ZZQ - 2);
	Pow(k, n)
	{
		For (i, 0, ff - 1)
			rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << tot - 1);
		For (i, 0, (ff >> 1) - 1) pmt[i] = a[i];
		For (i, ff >> 1, ff - 1) pmt[i] = 0;
		For (i, ff >> 2, ff - 1) res[i] = 0;
		FFT(ff, pmt, 1); FFT(ff, res, 1);
		For (i, 0, ff - 1)
			res[i] = 1ll * res[i] * (2 - 1ll * pmt[i] * res[i] % ZZQ
			+ ZZQ) % ZZQ;
		FFT(ff, res, -1);
		For (i, 0, (ff >> 1) - 1) res[i] = 1ll * res[i] * gg % ZZQ;
		ff <<= 1; tot++;
		gg = 499122177ll * gg % ZZQ;
	}
	For (i, n, ff >> 1) res[i] = 0;
}

int main()
{
	int i, x, k;
	n = read(); m = read();
	For (i, 1, n) if ((x = read()) <= m) cnt[x] = ZZQ - 4;
	cnt[0] = sqrtc[0] = 1;
	Pow(k, m + 1)
	{
		For (i, 0, k - 1) tmp[i] = sqrtc[i];
		For (i, k, (k << 1) - 1) tmp[i] = 0;
		getinv(k << 1, tmp, invc);
		For (i, 0, ff - 1)
			rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << tot - 1);
		For (i, 0, (ff >> 1) - 1) tmp[i] = cnt[i];
		For (i, ff >> 1, ff - 1) tmp[i] = 0;
		FFT(ff, tmp, 1); FFT(ff, sqrtc, 1); FFT(ff, invc, 1);
		For (i, 0, ff - 1)
			sqrtc[i] = (sqrtc[i] - 499122177ll *
				(1ll * sqrtc[i] * sqrtc[i] % ZZQ - tmp[i] + ZZQ)
				% ZZQ * invc[i] % ZZQ + ZZQ) % ZZQ;
		FFT(ff, sqrtc, -1);
		For (i, 0, (ff >> 1) - 1) sqrtc[i] = 1ll * sqrtc[i] * gg % ZZQ;
		For (i, ff >> 1, ff - 1) sqrtc[i] = 0;
		ff <<= 1; tot++;
		gg = 499122177ll * gg % ZZQ;
	}
	For (i, m + 1, ff >> 1) sqrtc[i] = 0;
	sqrtc[0]++; invsq[0] = 499122177;
	getinv(m + 1, sqrtc, invsq);
	For (i, 1, m) printf("%d\n", 2 * invsq[i] % ZZQ);
	return 0;
}