不间断收集一些经典概率题,不时让大脑锻炼锻炼,活跃思维~
1.100万个球随机放入100万个箱子,求空箱子的期望个数
概率论趣题:有空箱子的期望数是多少? - 知乎
https://www.zhihu.com/question/34620836
答案:100万*
,更一般地,设将n个球放入m个箱子,则空箱子的期望个数为
,当m趋于无穷时,近似等于
解析:设二值随机变量
表示第i个箱子最后是否为空(1为空,0为非空),则
根据“独立随机变量和的期望等于随机变量期望的和”,空箱子的期望个数
再根据高数中的重要极限 ,令x=-m,则上式即可近似为 。
2.在一个圆上随便取三个点,求这三个点组成一个锐角三角形的概率
圆上任选三点组成三角形,这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少? - 知乎
https://www.zhihu.com/question/19824740
答案:1/4
解析:提供两种解法
- 积分法:
https://www.zhihu.com/question/19824740/answer/13078308 - 空间转换+线性规划法:三角形三个角对应的圆心角x,y,z满足x+y+z=360,然后将该式看成是空间直角坐标系中的平面,利用线性规划结合锐角的约束条件即x,y,z均在(0,180度)范围内容易算出概率是1/4,详见链接。